найти интеграл и параюоллу F(x)=2x2+x
Чтобы найти интеграл функции \( F(x) = 2x^2 + x \), необходимо выполнить следующую процедуру.
Шаг 1: Найдем неопределённый интеграл.
Неопределённый интеграл — это функция, производная которой равна \( F(x) \). Обозначим интеграл так:
\[ \int F(x) \, dx = \int (2x^2 + x) \, dx \]
Шаг 2: Интегрируем каждую составляющую функции.
- Для интегрирования \( 2x^2 \) используем правило:
\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]
где \( n \) — степень переменной, и \( C \) — константа интегрирования. В данном случае \( n=2 \):
\[ \int 2x^2 \, dx = 2 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 2 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{2}{3}x^3 \]
- Далее интегрируем \( x \):
\[ \int x \, dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2} \]
Шаг 3: Объединим результаты.
Теперь, объединив обе части, получаем:
\[ \int (2x^2 + x) \, dx = \frac{2}{3}x^3 + \frac{x^2}{2} + C \]
где \( C \) — константа интегрирования.
Ответ:
Неопределённый интеграл функции \( F(x) = 2x^2 + x \) равен:
\[ \frac{2}{3}x^3 + \frac{x^2}{2} + C \]
Дополнительно: Парабола
Функция \( F(x) = 2x^2 + x \) описывает параболу. Чтобы понять её свойства, можно проанализировать:
Коэффициенты.
- \( a = 2 \) (парабола открыта вверх).
- \( b = 1 \).
Вершина. Вершина параболы находится по формуле:
\[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{4} \]
- Найдем координаты вершины.
Подставляем \( x = -\frac{1}{4} \) в уравнение:
\[ F\left(-\frac{1}{4}\right) = 2\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right) = 2 \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{4} = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} = -\frac{1}{8} \]
Таким образом, вершина параболы находится в точке \( \left(-\frac{1}{4}, -\frac{1}{8}\right) \).
Теперь у вас есть полный ответ и понимание того, как работать с интегралом и параболой!
