Найти интеграл и параюоллу F(x)=2x2+x

Чтобы найти интеграл функции \( F(x) = 2x^2 + x \), необходимо выполнить следующую процедуру. ### Шаг 1: Найдем неопределённый интеграл. Неопределённый интеграл — это функция, производная которой равна \( F(x) \). Обозначим интеграл так: \[ \int F(x) \, dx = \int (2x^2 + x) \, dx \] ### Шаг 2: Интегрируем каждую составляющую функции. 1. Для интегрирования \( 2x^2 \) используем правило: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] где \( n \) — степень переменной, и \( C \) — константа интегрирования. В данном случае \( n=2 \): \[ \int 2x^2 \, dx = 2 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 2 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{2}{3}x^3 \] 2. Далее интегрируем \( x \): \[ \int x \, dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2} \] ### Шаг 3: Объединим результаты. Теперь, объединив обе части, получаем: \[ \int (2x^2 + x) \, dx = \frac{2}{3}x^3 + \frac{x^2}{2} + C \] где \( C \) — константа интегрирования. ### Ответ: Неопределённый интеграл функции \( F(x) = 2x^2 + x \) равен: \[ \frac{2}{3}x^3 + \frac{x^2}{2} + C \] ### Дополнительно: Парабола Функция \( F(x) = 2x^2 + x \) описывает параболу. Чтобы понять её свойства, можно проанализировать: 1. **Коэффициенты.** - \( a = 2 \) (парабола открыта вверх). - \( b = 1 \). 2. **Вершина.** Вершина параболы находится по формуле: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{4} \] 3. **Найдем координаты вершины.** Подставляем \( x = -\frac{1}{4} \) в уравнение: \[ F\left(-\frac{1}{4}\right) = 2\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right) = 2 \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{4} = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} = -\frac{1}{8} \] Таким образом, вершина параболы находится в точке \( \left(-\frac{1}{4}, -\frac{1}{8}\right) \). Теперь у вас есть полный ответ и понимание того, как работать с интегралом и параболой!