Найдите все натуральные числа, удовлетворяющие неравенству ( x + 1 ) ( x − 1 ) − ( x 2 − 2 x ) < 7 (x+1)(x−1)−(x 2 −2x)<7 .
Чтобы решить неравенство \((x + 1)(x - 1) - (x^2 - 2x) < 7\), начнем с упрощения левой части.
Раскроем скобки и выразим левую часть неравенства: \[ (x + 1)(x - 1) = x^2 - 1 \] Таким образом, неравенство будет выглядеть следующим образом: \[ x^2 - 1 - (x^2 - 2x) < 7 \]
Упростим выражение: \[ x^2 - 1 - x^2 + 2x < 7 \] Здесь \(x^2\) и \(-x^2\) сокращаются: \[ 2x - 1 < 7 \]
Переносим \(-1\) в правую сторону: \[ 2x < 8 \]
Делим обе стороны на 2: \[ x < 4 \]
Теперь у нас есть неравенство \(x < 4\). Поскольку нам нужны все натуральные числа, удовлетворяющие этому условию, запишем натуральные числа, меньше чем 4.
Натуральные числа — это 1, 2, 3. Таким образом, все натуральные числа, которые удовлетворяют неравенству:
\[ \{1, 2, 3\} \]
Ответ: натуральные числа, удовлетворяющие неравенству, — это 1, 2, и 3.
