решите неравенство х^2<9
Чтобы решить неравенство \( x^2 < 9 \), начнем с того, что перепишем его в более удобной форме.
Неравенство \( x^2 < 9 \) можно представить как:
\[ x^2 - 9 < 0 \]
Это неравенство можно факторизовать:
\[ (x - 3)(x + 3) < 0 \]
Теперь найдем корни уравнения \( (x - 3)(x + 3) = 0 \). Корни равны:
\[ x = 3 \quad \text{и} \quad x = -3 \]
Эти значения разбивают числовую ось на три интервала: \( (-\infty, -3) \), \( (-3, 3) \) и \( (3, \infty) \). Теперь нужно проверить знак произведения \( (x - 3)(x + 3) \) на каждом из этих интервалов.
Для интервала \( (-\infty, -3) \) выберем, например, \( x = -4 \): \[ (-4 - 3)(-4 + 3) = (-7)(-1) = 7 > 0 \]
Для интервала \( (-3, 3) \) выберем \( x = 0 \): \[ (0 - 3)(0 + 3) = (-3)(3) = -9 < 0 \]
Для интервала \( (3, \infty) \) выберем \( x = 4 \): \[ (4 - 3)(4 + 3) = (1)(7) = 7 > 0 \]
Теперь мы знаем, что произведение \( (x - 3)(x + 3) < 0 \) только на интервале \( (-3, 3) \).
Таким образом, решением неравенства \( x^2 < 9 \) будет:
\[ -3 < x < 3 \]
В ответе можно записать:
\[ x \in (-3, 3) \]
