6. Симметричную монету подбрасывают три раза. Найдите вероятность того, что выпал ровно один орёл, если известно, что: а) при первом броске выпал орёл; б) не все три раза выпал…

Для решения этой задачи рассмотрим правила нахождения вероятности и основные свойства симметричной монеты.

При подбрасывании симметричной монеты у нас есть два возможных исхода: "орёл" (О) и "решка" (Р). Вероятность каждого исхода равна:

• \( P(О) = \frac{1}{2} \)
• \( P(Р) = \frac{1}{2} \)

Теперь решим две части задачи по отдельности.

Часть а): Вероятность того, что выпал ровно один орёл, если известно, что при первом броске выпал орёл.

Пусть мы уже знаем, что в первом броске выпал орёл. Теперь у нас остаются два броска (второй и третий), и мы хотим найти вероятность того, что в них всего будет ровно один орёл.

Согласно условию, первое подбрасывание уже дало нам орла, значит, чтобы в двух последующих бросках было всего один орёл, во втором должен выпасть орёл, а в третьем - решка, или наоборот: решка во втором и орёл в третьем.

Возможные благоприятные исходы:

1. Первый бросок: О, второй бросок: О, третий бросок: Р (О, О, Р)
2. Первый бросок: О, второй бросок: Р, третий бросок: О (О, Р, О)

Теперь находим вероятность каждого исхода. У нас всего 2 подбрасывания, и каждый имеет вероятность \( \frac{1}{2} \):

• Вероятность первого исхода (О, О, Р): \[ P(О, О, Р) = P(О) \times P(О) \times P(Р) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \]

• Вероятность второго исхода (О, Р, О): \[ P(О, Р, О) = P(О) \times P(Р) \times P(О) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \]

Теперь суммируем вероятности благоприятных случаев: \[ P(\text{ровно один орёл | первый бросок орёл}) = P(О, О, Р) + P(О, Р, О) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \]

Часть б): Вероятность того, что выпал ровно один орёл, если известно, что не все три раза выпал орёл.

Теперь определим общее количество возможных случаев и благоприятных случаев в этой ситуации.

1. Все возможные исходы при трех бросках: \( 2^3 = 8 \).
2. Исходы, при которых выпало "три орла": это только один случай (О, О, О).
3. Поэтому, не все три раза выпал орёл - это 8 (всех исходов) минус 1 (исход (О, О, О)), то есть 7 благоприятных случаев.

Теперь давайте найдем, сколько из этих 7 случаев имеют ровно один орёл.

Возможные исходы с ровно одним орлом:

1. О, Р, Р
2. Р, О, Р
3. Р, Р, О

Итак, это 3 случая.

Теперь можем найти вероятность: \[ P(\text{ровно один орёл | не все три броска орёл}) = \frac{\text{количество благоприятных случаев}}{\text{общее количество случаев, когда не все три орла}} = \frac{3}{7} \]

Ответы

а) Вероятность того, что выпал ровно один орёл при условии, что первый бросок - орёл: \( \frac{1}{4} \)

б) Вероятность того, что выпал ровно один орёл, если известно, что не все три раза выпал орёл: \( \frac{3}{7} \)