Для решения этой задачи о сопротивлениях резисторов, подключенных последовательно и параллельно, воспользуемся законами Ома и формулами для расчета сопротивлений.
Дано:
- Напряжение ( U = 24 ) В
- Сила тока при последовательном соединении ( I_1 = 0,6 ) А
- Сила тока при параллельном соединении ( I_2 = 3,2 ) А
Шаг 1: Находим общее сопротивление при последовательном соединении
При последовательном соединении резисторов общее сопротивление ( R_s ) можно найти по закону Ома:
[
R_s = \frac{U}{I_1}
]
Подставляем данные:
[
R_s = \frac{24 , \text{В}}{0,6 , \text{А}} = 40 , \Omega
]
Шаг 2: Находим общее сопротивление при параллельном соединении
При параллельном соединении резисторов общее сопротивление ( R_p ) можно выразить через силу тока:
[
R_p = \frac{U}{I_2}
]
Подставим данные:
[
R_p = \frac{24 , \text{В}}{3,2 , \text{А}} = 7,5 , \Omega
]
Шаг 3: Запишем систему уравнений
Обозначим сопротивления резисторов как ( R_1 ) и ( R_2 ). Для последовательного соединения имеем:
[
R_1 + R_2 = R_s = 40 , \Omega \quad \text{(1)}
]
Для параллельного соединения у нас есть:
[
\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{R_p} = \frac{1}{7,5 , \Omega} \quad \text{(2)}
]
Шаг 4: Упростим второе уравнение
Запишем уравнение (2) так, чтобы избавиться от дробей:
[
\frac{R_1 + R_2}{R_1 \cdot R_2} = \frac{1}{7,5}
]
Умножим обе стороны на ( R_1 \cdot R_2 \cdot 7,5 ):
[
7,5(R_1 + R_2) = R_1 \cdot R_2
]
Подставим из уравнения (1):
[
7,5 \cdot 40 = R_1 \cdot R_2
]
[
300 = R_1 \cdot R_2 \quad \text{(3)}
]
Шаг 5: Решим систему уравнений
Теперь у нас есть два уравнения:
- ( R_1 + R_2 = 40 )
- ( R_1 \cdot R_2 = 300 )
Можно выразить ( R_2 ) через ( R_1 ):
[
R_2 = 40 - R_1
]
Подставляем в (3):
[
R_1(40 - R_1) = 300
]
Раскроем скобки:
[
40R_1 - R_1^2 = 300
]
Перепишем уравнение:
[
R_1^2 - 40R_1 + 300 = 0
]
Шаг 6: Найдем корни квадратного уравнения
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):
[
R_1 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Для нашего уравнения ( a = 1, b = -40, c = 300 ):
[
R_1 = \frac{40 \pm \sqrt{(-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 300}}{2 \cdot 1}
]
[
R_1 = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 1200}}{2}
]
[
R_1 = \frac{40 \pm \sqrt{400}}{2}
]
[
R_1 = \frac{40 \pm 20}{2}
]
Таким образом, у нас есть два возможных значения:
- ( R_1 = \frac{60}{2} = 30 , \Omega )
- ( R_1 = \frac{20}{2} = 10 , \Omega )
Следовательно, получаем:
- ( R_1 = 30 , \Omega ), тогда ( R_2 = 10 , \Omega )
- ( R_1 = 10 , \Omega ), тогда ( R_2 = 30 , \Omega )
Ответ:
Сопротивления резисторов ( R_1 = 30 , \Omega ) и ( R_2 = 10 , \Omega ).
