Найди разность и первый член арифметической прогрессии, если а7=57 и а15=53
Чтобы решить задачу о нахождении разности и первого члена арифметической прогрессии, давай начнем с основ арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на постоянную величину, называемую разностью (d). Первый член прогрессии обозначается как \(a_1\).
Формула для n-го члена арифметической прогрессии записывается так:
\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]
В данной задаче мы имеем:
- \(a_7 = 57\)
- \(a_{15} = 53\)
Исходя из формулы, можем записать два уравнения:
Для седьмого члена: \[ a_7 = a_1 + 6d = 57 \]
Для пятнадцатого члена: \[ a_{15} = a_1 + 14d = 53 \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \(a_1 + 6d = 57\) (уравнение 1)
- \(a_1 + 14d = 53\) (уравнение 2)
Для нахождения разности \(d\), вычтем уравнение 1 из уравнения 2:
\[ (a_1 + 14d) - (a_1 + 6d) = 53 - 57 \]
Это упрощается до:
\[ 8d = -4 \]
Теперь делим обе стороны на 8:
\[ d = -\frac{1}{2} \]
Теперь, когда мы знаем разность \(d\), подставим её обратно в одно из уравнений, чтобы найти первый член \(a_1\). Используем уравнение 1:
\[ a_1 + 6(-\frac{1}{2}) = 57 \]
Это можно записать как:
\[ a_1 - 3 = 57 \]
Теперь добавим 3 к обеим сторонам:
\[ a_1 = 60 \]
Таким образом, мы нашли:
- Первый член арифметической прогрессии \(a_1 = 60\)
- Разность \(d = -\frac{1}{2}\)
Ответ:
- Первый член \(a_1 = 60\)
- Разность \(d = -\frac{1}{2}\)
