Найди сумму всех натуральных двухзначные чисел кратных трем

Чтобы найти сумму всех натуральных двузначных чисел, кратных 3, давайте пройдемся по шагам.

Шаг 1: Определение диапазона

Натуральные двузначные числа — это числа от 10 до 99.

Шаг 2: Найдем первое и последнее двузначное число, кратное 3

1. Первое двузначное число, кратное 3:

   • Проверим числа, начиная с 10:
     • 10: 10 ÷ 3 = 3,3 (не кратно)
     • 11: 11 ÷ 3 = 3,67 (не кратно)
     • 12: 12 ÷ 3 = 4 (кратно)
   • Итак, первое двузначное число, кратное 3 — это 12.

2. Последнее двузначное число, кратное 3:

   • Проверим числа, начиная с 99 и двигаясь назад:
     • 99: 99 ÷ 3 = 33 (кратно)
   • Итак, последнее двузначное число, кратное 3 — это 99.

Шаг 3: Определение последовательности

Теперь у нас есть последовательность двузначных чисел, кратных 3: 12, 15, 18, ..., 99. Это арифметическая прогрессия.

• Первое число (a) = 12
• Последнее число (l) = 99
• Разность (d) = 3

Шаг 4: Найдем количество членов в последовательности

Количество членов \( n \) в арифметической прогрессии можно найти по формуле: \[ l = a + (n-1) \cdot d \] Подставим известные значения: \[ 99 = 12 + (n-1) \cdot 3 \] Вычтем 12 из обеих сторон: \[ 87 = (n-1) \cdot 3 \] Разделим обе стороны на 3: \[ 29 = n-1 \] Прибавим 1: \[ n = 30 \] Итак, в нашей прогрессии 30 членов.

Шаг 5: Найдем сумму членов прогрессии

Сумма \( S_n \) членов арифметической прогрессии может быть найдена по формуле: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l) \] Подставим известные значения: \[ S_{30} = \frac{30}{2} \cdot (12 + 99) \] Посчитаем: \[ S_{30} = 15 \cdot 111 = 1665 \]

Ответ

Сумма всех натуральных двузначных чисел, кратных 3, равна 1665.