5. Разложите на множители. 1) x ^ 3 + y ^ 3 6) 125 - d ^ 3 11) 16a ^ 3 - 27c ^ 3 2) m ^ 2 - a ^ 2 7) m ^ 2 + 216 12) 1 * 343b ^ 2 + 8d ^ 2 8) 343 + n ^ 3 13) 64x ^ 6 - 125m ^ 3 3)…
5. Разложите на множители. 1) x ^ 3 + y ^ 3 6) 125 - d ^ 3 11) 16a ^ 3 - 27c ^ 3 2) m ^ 2 - a ^ 2 7) m ^ 2 + 216 12) 1 * 343b ^ 2 + 8d ^ 2 8) 343 + n ^ 3 13) 64x ^ 6 - 125m ^ 3 3) a ^ 3 + B 4) b ^ 3 - 27 5) 64 + c ^ 3 9) 8x ^ 3 - 1 10) i + 1000y ^ 3 14) 729n ^ 12 + 1 15) 8y ^ 3 + 512z ^ 4
Давайте разберем предложенные задачи по разложению на множители. Мы будем использовать общие формулы для разложения многочленов, таких как разложение суммы и разности кубов, а также разности квадратов.
1) \( x^3 + y^3 \)
Формула: \[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]
Применяем: \[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \]
2) \( m^2 - a^2 \)
Формула: \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]
Применяем: \[ m^2 - a^2 = (m - a)(m + a) \]
3) \( a^3 + B \)
Здесь не совсем стандартная форма, нужно уточнить, возможно, имелось в виду \( a^3 + b^3 \) где \( B = b^3 \): \[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]
Если \( B \) другое выражение, раскладывание может отличаться.
4) \( b^3 - 27 \)
Формула: \[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \]
Здесь \( 27 = 3^3 \): \[ b^3 - 27 = (b - 3)(b^2 + 3b + 9) \]
5) \( 64 + c^3 \)
Это можно переписать как: \[ c^3 + 64 = c^3 + 4^3 \]
Используя формулу суммы кубов: \[ c^3 + 4^3 = (c + 4)(c^2 - 4c + 16) \]
6) \( 125 - d^3 \)
Здесь \( 125 = 5^3 \), поэтому используй формулу разности кубов: \[ 125 - d^3 = (5 - d)(5^2 + 5d + d^2) = (5 - d)(25 + 5d + d^2) \]
7) \( m^2 + 216 \)
Это выражение не разлагается на множители в комплексных числах, так как 216 — это сумма квадратов и не имеет действительных корней.
8) \( 343 + n^3 \)
Это можно записать как: \[ 343 + n^3 = 7^3 + n^3 \] Используя формулу суммы кубов: \[ 7^3 + n^3 = (7 + n)(49 - 7n + n^2) \]
9) \( 8x^3 - 1 \)
Заметим, что \( 8x^3 = (2x)^3 \) и \( 1 = 1^3 \): \[ 8x^3 - 1 = (2x - 1)((2x)^2 + (2x)(1) + 1^2) = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) \]
10) \( i + 1000y^3 \)
Запишем это так: \[ i + 1000y^3 = i + (10y)^3 \] Это можно рассмотреть как сумму кубов, но для комплексного числа придется принимать \( i \) в ресур=utf-8, так что разложение не так применяется.
11) \( 16a^3 - 27c^3 \)
Используем разность кубов: \[ 16a^3 - 27c^3 = (2a - 3c)(4a^2 + 6ac + 9c^2) \]
12) \( 1 \cdot 343b^2 + 8d^2 \)
Здесь это можно рассматривать в терминах квадрата и обычных чисел, и не подойдет для разложения.
13) \( 64x^6 - 125m^3 \)
Записываем как: \[ (8x^2)^3 - (5m)^3 \] И применяем формулу разности кубов: \[ = (8x^2 - 5m)(64x^4 + 40x^2m + 25m^2) \]
14) \( 729n^{12} + 1 \)
Как и прежде, можно попытаться применить суммы кубов через смешение степеней (не стандартно).
15) \( 8y^3 + 512z^4 \)
Записываем: \[ 8y^3 + 512z^4 = 8y^3 + (8z^2)^3 \] Используем формулу: \[ = (2y + 8z^2)(4y^2 - 16yz^2 + 64z^4) \]
Если что-то осталось неясным, пожалуйста, уточните, чтобы я мог помочь более конкретно!
Обсуждение
2 сообщенияРаскройте скобки. 1) (p + q)(p ^ 2 - pq + q ^ 2) 2) (k - m)(k ^ 2 + km + m ^ 2) 3) (a + 8)(a ^ 2 - 8a + 64) 4) (8 - b)(64 + 8b + b ^ 2) 5) (c + 6)(c ^ 2 - 6c + 36) 6) (7 - d)(49 + 7d + d ^ 2) 7) (2 + k)(4 - 2k + k ^ 2) 8) (l - 1)(l ^ 2 + l + 1) 9) (m ^ 2 + n)(m ^ 4 - m ^ 2 * n + n ^ 2) 11) (8a ^ 2 + b ^ 2)(64a ^ 4 - 8a ^ 2 * b ^ 2 + b ^ 4) 12) (2c ^ 3 - 3p ^ 2)(4c ^ 6 + 6c ^ 3 * p ^ 4 + 9p ^ 4) 13) (4p ^ 4 + 3q ^ 3)(16p ^ 8 - 12p ^ 4 * q ^ 3 + 27q ^ 6) 14) (5x ^ 2 - 6m ^ 3)(25x ^ 4 + 30x ^ 2 * m ^ 3 + 36m ^ a) 10) (x - y ^ 3)(x ^ 2 + x * y ^ 3 + y ^ 6) 15) (7d ^ 5 + 1)(49d ^ 16 - 7d ^ 5 + 1)
Давайте раскроем скобки в предложенных выражениях:
1) \((p + q)(p^2 - pq + q^2)\)
Распределяем: \[ p(p^2 - pq + q^2) + q(p^2 - pq + q^2) = p^3 - p^2q + pq^2 + qp^2 - q^2p + q^3 \] Объединяя подобные члены: \[ = p^3 + q^3 \]
2) \((k - m)(k^2 + km + m^2)\)
Распределяем: \[ k(k^2 + km + m^2) - m(k^2 + km + m^2) = k^3 + k^2m + km^2 - mk^2 - m^2k - m^3 \] Объединяя подобные члены: \[ = k^3 - m^3 \]
3) \((a + 8)(a^2 - 8a + 64)\)
Распределяем: \[ a(a^2 - 8a + 64) + 8(a^2 - 8a + 64) = a^3 - 8a^2 + 64a + 8a^2 - 64a + 512 \] Объединяя подобные члены: \[ = a^3 + 512 \]
4) \((8 - b)(64 + 8b + b^2)\)
Распределяем: \[ 8(64 + 8b + b^2) - b(64 + 8b + b^2) = 512 + 64b + 8b^2 - 64b - 8b^2 - b^3 \] Объединяя подобные члены: \[ = 512 - b^3 \]
5) \((c + 6)(c^2 - 6c + 36)\)
Распределяем: \[ c(c^2 - 6c + 36) + 6(c^2 - 6c + 36) = c^3 - 6c^2 + 36c + 6c^2 - 36c + 216 \] Объединяя подобные члены: \[ = c^3 + 216 \]
6) \((7 - d)(49 + 7d + d^2)\)
Распределяем: \[ 7(49 + 7d + d^2) - d(49 + 7d + d^2) = 343 + 49d + 7d^2 - 49d - 7d^2 - d^3 \] Объединяя подобные члены: \[ = 343 - d^3 \]
7) \((2 + k)(4 - 2k + k^2)\)
Распределяем: \[ 2(4 - 2k + k^2) + k(4 - 2k + k^2) = 8 - 4k + 2k^2 + 4k - 2k^2 + k^3 \] Объединяя подобные члены: \[ = 8 + k^3 \]
8) \((l - 1)(l^2 + l + 1)\)
Распределяем: \[ l(l^2 + l + 1) - 1(l^2 + l + 1) = l^3 + l^2 + l - l^2 - l - 1 \] Объединяя подобные члены: \[ = l^3 - 1 \]
9) \((m^2 + n)(m^4 - m^2n + n^2)\)
Распределяем: \[ m^2(m^4 - m^2n + n^2) + n(m^4 - m^2n + n^2) = m^6 - m^4n + m^2n + nm^4 - nm^2n + n^3 \] Объединяя подобные члены: \[ = m^6 + n^3 \]
10) \((x - y^3)(x^2 + xy^3 + y^6)\)
Распределяем: \[ x(x^2 + xy^3 + y^6) - y^3(x^2 + xy^3 + y^6) = x^3 + xy^3 + xy^6 - y^3x^2 - y^6x - y^9 \] Объединяя подобные члены: \[ = x^3 - y^9 \]
11) \((8a^2 + b^2)(64a^4 - 8a^2b^2 + b^4)\)
Распределяем: \[ 8a^2(64a^4 - 8a^2b^2 + b^4) + b^2(64a^4 - 8a^2b^2 + b^4) = 512a^6 - 64a^4b^2 + 8a^2b^4 + 64a^4b^2 - 8b^4a^2 + b^6 \] Объединяя подобные члены: \[ = 512a^6 + b^6 \]
12) \((2c^3 - 3p^2)(4c^6 + 6c^3p^4 + 9p^4)\)
Распределяем: \[ 2c^3(4c^6 + 6c^3p^4 + 9p^4) - 3p^2(4c^6 + 6c^3p^4 + 9p^4) = 8c^9 + 12c^6p^4 + 18c^3p^4 - 12c^6p^2 - 18c^3p^6 - 27p^6 \] Объединяя подобные члены: \[ = 8c^9 - 27p^6 \]
13) \((4p^4 + 3q^3)(16p^8 - 12p^4q^3 + 27q^6)\)
Распределяем: \[ 4p^4(16p^8 - 12p^4q^3 + 27q^6) + 3q^3(16p^8 - 12p^4q^3 + 27q^6) = 64p^{12} - 48p^8q^3 + 108p^4q^6 + 48p^8q^3 - 36p^4q^6 + 81q^9 \] Объединяя подобные члены: \[ = 64p^{12} + 72p^4q^6 + 81q^9 \]
14) \((5x^2 - 6m^3)(25x^4 + 30x^2m^3 + 36m^6)\)
Распределяем: \[ 5x^2(25x^4 + 30x^2m^3 + 36m^6) - 6m^3(25x^4 + 30x^2m^3 + 36m^6) = 125x^6 + 150x^4m^3 + 180x^2m^6 - 150x^4m^3 - 180x^2m^6 - 216m^9 \] Объединяя подобные члены: \[ = 125x^6 - 216m^9 \]
15) \((7d^5 + 1)(49d^{16} - 7d^5 + 1)\)
Распределяем: \[ 7d^5(49d^{16} - 7d^5 + 1) + 1(49d^{16} - 7d^5 + 1) = 343d^{21} - 49d^{10} + 7d^5 + 49d^{16} - 7d^5 + 1 \] Объединяя подобные члены: \[ = 343d^{21} + 49d^{16} - 49d^{10} + 1 \]
Если нужно разъяснение по какому-либо из шагов или дополнительные примеры, пожалуйста, дайте знать!
