Задумали трехзначное число, последняя цифра которого не равна нулю. из него вычли трехзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. получили число 693. найди все…

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Обозначим трехзначное число. Пусть наше число обозначается как \( \overline{abc} \), где \( a \) - первая цифра, \( b \) - вторая, и \( c \) - третья цифра. Таким образом, три цифры образуют число, которое можно записать как: \[ 100a + 10b + c \]

2. Теперь запишем число, записанное в обратном порядке. Это число будет \( \overline{cba} \), которое можно выразить как: \[ 100c + 10b + a \]

3. Вычтем одно число из другого. Теперь найдем разность между этими двумя числами: \[ (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) \] Упростим это выражение: \[ 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 99a - 99c = 99(a - c) \]

4. По условию задачи, эта разность равна 693. Таким образом, мы можем записать уравнение: \[ 99(a - c) = 693 \]

5. Решим это уравнение. Для этого разделим обе стороны на 99: \[ a - c = \frac{693}{99} = 7 \]

   Это значит, что \( a - c = 7 \).

6. Теперь мы можем выразить \( a \) через \( c \): \[ a = c + 7 \]

7. Найдем возможные значения \( a \) и \( c \). Учитывая, что \( a \) и \( c \) должны быть цифрами от 0 до 9:

   • Если \( c = 1 \), то \( a = 8 \).
   • Если \( c = 2 \), то \( a = 9 \).

   Значений \( c = 3 \) и выше не подойдут, так как \( a \) превысит 9.

   Таким образом, \( (a, c) \) могут принимать следующие значения:

   • \( (8, 1) \)
   • \( (9, 2) \)

8. Теперь нам нужно найти соответствующие значения \( b \). Значение \( b \) может быть любой цифрой от 0 до 9.

   • Если \( a = 8 \) и \( c = 1 \), тогда \( b \) может быть любым числом от 0 до 9.
     • Числа: 800, 801, 802, 803, 804, 805, 806, 807, 808, 809. (все трехзначные числа от 810 до 890)
   • Если \( a = 9 \) и \( c = 2 \), тогда \( b \) также может быть любым числом от 0 до 9.
     • Числа: 900, 901, 902, 903, 904, 905, 906, 907, 908, 909. (все трехзначные числа от 910 до 990)

9. Проверка чисел больше 900:

   • Из первого набора чисел (800-809) нас интересует только 900 и дальше.
   • Из второго набора кадров (900-909) все числа подходят.

10. Соответствующие числа: Таким образом, числа, которые мы нашли, равны:

    • 900, 901, 902, 903, 904, 905, 906, 907, 908, 909.

Эти числа, превышающие 900 и обладающие свойством, что разность с их реверсированным значением равняется 693.