Решим задачу шаг за шагом, используя свойства треугольников и тригонометрические функции.
Шаг 1: Определение данных
В нашем треугольнике ABK:
- Угол K = 90°.
- Угол A = 30°.
- Следовательно, угол B = 90° - 30° = 60°.
- Дана точка M на катете AK такая, что угол BMK = 60°.
- Длина KM = 5 см.
Шаг 2: Понимание треугольника
В треугольнике ABK, имея угол A = 30° и угол K = 90°, мы можем определить, что:
- Катет AB (напротив угла A) будет равен половине гипотенузы AB (основание в 30-60-90 треугольниках).
- Катет BK (напротив угла B) будет равен (катет AB) * √3 (то есть корень из трех по свойству треугольника 30-60-90).
Обозначим длину катета AK как ( x ).
Шаг 3: Рассмотрим треугольник BKM
В треугольнике BKM у нас:
- Угол BMK = 60°.
- Угол K = 90°.
Таким образом, у нас есть треугольник с углами 60° и 90°, а значит:
- Угол BKM = 30° (поскольку сумма углов треугольника равна 180°).
Шаг 4: Использование свойств треугольников
В треугольнике BKM:
- Применим тангенс для угла 30°:
[
\tan(30°) = \frac{KM}{BK}
]
Так как ( KM = 5 ) см, имеем:
[
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5}{BK} \implies BK = 5\sqrt{3} \text{ см}.
]
Шаг 5: Определение длины катета AK
Теперь найдем длину AK. Мы знаем, что:
- В треугольнике ABK у нас ( BK = 5\sqrt{3} ) см, так как это один из катетов.
Теперь используем правило для 30-60-90 треугольника:
- Гипотенуза AB = ( 2 \times AK ) (так как против угла 30° находится в два раза меньше, чем против угла 60°).
Сначала найдем гипотенузу AB:
[
AB = AK \cdot 2.
]
Теперь воспользуемся отношениями между катетами и гипотенузой:
[
BK = AK \cdot \sqrt{3}.
]
Можно приравнять:
[
AK \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3} \implies AK = 5 \text{ см}.
]
Ответ
Таким образом, длина катета AK равна 5 см.
