Для решения задачи начнем с формул, которые нам нужны.
Периметр прямоугольника (P) и площадь (S) выражаются следующими формулами:
Периметр:
[
P = 2(a + b)
]
где (a) и (b) — длины сторон прямоугольника.
Площадь:
[
S = a \cdot b
]
Заданные значения:
- Периметр (P = 17.8)
- Площадь (S = 18.48)
Шаг 1: Выразим одну сторону через другую
Разделим формулу периметра на 2:
[
a + b = \frac{P}{2} = \frac{17.8}{2} = 8.9
]
Теперь выразим одну сторону через другую:
[
b = 8.9 - a
]
Шаг 2: Подставим во вторую формулу
Теперь подставим выражение для (b) в формулу площади:
[
S = a \cdot b = a \cdot (8.9 - a)
]
Согласно условию, (S = 18.48):
[
a \cdot (8.9 - a) = 18.48
]
Шаг 3: Преобразуем уравнение
Раскроем скобки:
[
8.9a - a^2 = 18.48
]
Переносим все в одну сторону:
[
-a^2 + 8.9a - 18.48 = 0
]
Умножим на -1, чтобы сделать передний член положительным:
[
a^2 - 8.9a + 18.48 = 0
]
Шаг 4: Решим квадратное уравнение
Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:
[
a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Здесь:
- (A = 1)
- (B = -8.9)
- (C = 18.48)
Подставим все значения в формулу:
[
D = B^2 - 4AC = (-8.9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18.48 = 79.21 - 73.92 = 5.29
]
Теперь находим корни:
[
a = \frac{8.9 \pm \sqrt{5.29}}{2 \cdot 1}
]
[
\sqrt{5.29} \approx 2.3
]
[
a = \frac{8.9 \pm 2.3}{2}
]
Шаг 5: Найдем значения (a)
Теперь найдем два возможных значения:
- ( a_1 = \frac{8.9 + 2.3}{2} = \frac{11.2}{2} = 5.6)
- ( a_2 = \frac{8.9 - 2.3}{2} = \frac{6.6}{2} = 3.3)
Шаг 6: Найдем значение (b)
Теперь подставим найденные значения (a) обратно в выражение для (b):
Для (a = 5.6):
[
b = 8.9 - 5.6 = 3.3
]
Для (a = 3.3):
[
b = 8.9 - 3.3 = 5.6
]
Ответ
Меньшая сторона прямоугольника — это:
[
\boxed{3.3}
]
