В вагоне-ресторане поезда на ужин предлагается курица с гречкой или лазанья. Каждый пассажир делает свой выбор. Сколько в данном выборе комбинаций, если 15 пассажиров выбирают…

Для решения задачи давайте разберем ситуацию с выбором каждого пассажира и определим общее количество возможных комбинаций.

1. У нас есть 21 пассажир, и каждый из них выбирает один из двух вариантов: курица с гречкой или лазанья.

2. Из условия задачи известно, что 15 пассажиров выбрали лазанью. Значит, оставшиеся пассажиры, а именно \(21 - 15 = 6\) пассажиров, выбрали курицу с гречкой.

3. Чтобы подсчитать количество уникальных комбинаций выборов среди 21 пассажира, нам нужно узнать, сколько способов можно выбрать 15 пассажиров из 21 для лазаньи. Это можно сделать с помощью формулы биномиального коэффициента:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \(n\) — общее количество пассажиров, а \(k\) — количество пассажиров, которые сделали выбор.

4. В нашем случае \(n = 21\) (все пассажиры), а \(k = 15\) (пассажиры, выбравшие лазанью). Подставим значения в формулу:

\[ C(21, 15) = \frac{21!}{15! \cdot (21-15)!} = \frac{21!}{15! \cdot 6!} \]

5. Теперь рассчитаем \(C(21, 15)\):
   • \(21! = 21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15!\)
   • Подставим это в формулу:

\[ C(21, 15) = \frac{21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15!}{15! \cdot 6!} = \frac{21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{6!} \]

6. Теперь вычислим \(6!\):

\[ 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \]

7. Рассчитаем числитель:

\[ 21 \times 20 = 420 \] \[ 420 \times 19 = 7980 \] \[ 7980 \times 18 = 143640 \] \[ 143640 \times 17 = 2431680 \] \[ 2431680 \times 16 = 38881280 \]

8. Теперь подставим числитель и знаменатель в формулу для биномиального коэффициента:

\[ C(21, 15) = \frac{38881280}{720} \]

9. Посчитаем результат:

\[ 38881280 \div 720 = 53984 \]

Таким образом, всего существует 53984 различных комбинаций выбора ужина среди 21 пассажира, из которых 15 выбрали лазанью.