В вагоне-ресторане поезда на ужин предлагается курица с гречкой или лазанья. Каждый пассажир делает свой выбор. Сколько в данном выборе комбинаций, если 15 пассажиров выбирают лазанью, а всего пассажиров 21?

Для решения задачи давайте разберем ситуацию с выбором каждого пассажира и определим общее количество возможных комбинаций. 1. У нас есть 21 пассажир, и каждый из них выбирает один из двух вариантов: курица с гречкой или лазанья. 2. Из условия задачи известно, что 15 пассажиров выбрали лазанью. Значит, оставшиеся пассажиры, а именно \(21 - 15 = 6\) пассажиров, выбрали курицу с гречкой. 3. Чтобы подсчитать количество уникальных комбинаций выборов среди 21 пассажира, нам нужно узнать, сколько способов можно выбрать 15 пассажиров из 21 для лазаньи. Это можно сделать с помощью формулы биномиального коэффициента: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где \(n\) — общее количество пассажиров, а \(k\) — количество пассажиров, которые сделали выбор. 4. В нашем случае \(n = 21\) (все пассажиры), а \(k = 15\) (пассажиры, выбравшие лазанью). Подставим значения в формулу: \[ C(21, 15) = \frac{21!}{15! \cdot (21-15)!} = \frac{21!}{15! \cdot 6!} \] 5. Теперь рассчитаем \(C(21, 15)\): - \(21! = 21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15!\) - Подставим это в формулу: \[ C(21, 15) = \frac{21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15!}{15! \cdot 6!} = \frac{21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{6!} \] 6. Теперь вычислим \(6!\): \[ 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \] 7. Рассчитаем числитель: \[ 21 \times 20 = 420 \] \[ 420 \times 19 = 7980 \] \[ 7980 \times 18 = 143640 \] \[ 143640 \times 17 = 2431680 \] \[ 2431680 \times 16 = 38881280 \] 8. Теперь подставим числитель и знаменатель в формулу для биномиального коэффициента: \[ C(21, 15) = \frac{38881280}{720} \] 9. Посчитаем результат: \[ 38881280 \div 720 = 53984 \] Таким образом, всего существует 53984 различных комбинаций выбора ужина среди 21 пассажира, из которых 15 выбрали лазанью.