На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что LAOB = 45°. Длина меньшей дуги АВ равна 91. Найдите длину большей дуги.
Чтобы найти длину большей дуги окружности, мы сначала разберем, что нам известно:
- Угол в 45° между лучами OA и OB. Это значит, что площадь сектора, образованного углом AOB, равна 45/360 общей длины окружности.
- Длина меньшей дуги AB равна 91.
Теперь давайте разберем, как мы можем найти длину большей дуги.
Шаг 1: Определение длины окружности
Сначала найдем длину окружности, используя длину меньшей дуги. Мы знаем, что длина дуги может быть найдена по формуле:
\[ L_{\text{дуги}} = \frac{\alpha}{360} \cdot L_{\text{окружности}} \]
где \(L_{\text{окружности}}\) — полная длина окружности, а \(\alpha\) — центральный угол в градусах.
В нашем случае:
\[ 91 = \frac{45}{360} \cdot L_{\text{окружности}} \]
Шаг 2: Найдем длину окружности
Теперь, чтобы решить уравнение для \(L_{\text{окружности}}\), сначала упростим его:
\[ 91 = \frac{1}{8} \cdot L_{\text{окружности}} \quad \text{ (так как } \frac{45}{360} = \frac{1}{8}\text{)} \]
Теперь умножим обе стороны на 8:
\[ L_{\text{окружности}} = 91 \cdot 8 = 728 \]
Шаг 3: Находим длину большей дуги
Сейчас, когда мы знаем длину окружности, можем найти длину большей дуги. Длина большей дуги равна разности между полным периметром окружности и длиной меньшей дуги. То есть:
\[ L_{\text{большей дуги}} = L_{\text{окружности}} - L_{\text{меньшей дуги}} \] \[ L_{\text{большей дуги}} = 728 - 91 = 637 \]
Ответ:
Длина большей дуги равна 637.
