Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 20 см и образует с боковой гранью угол 30°. Вычисли площадь основания призмы.

Для решения этой задачи давайте разберёмся со всеми данными и шагами, которые нам нужно выполнить.

1. Данные задачи:

   • Диагональ правильной четырёхугольной призмы (обозначим её \(d\)) равна 20 см.
   • Угол между диагональю и боковой гранью (обозначим его \(\alpha\)) равен 30°.

2. Формула для диагонали призмы: В правильной четырёхугольной призме основанием является квадрат, поэтому можно обозначить сторону основания (сторону квадрата) через \(a\).

   Диагональ квадрата \(d\) выражается через сторону \(a\) по формуле: \[ d = a \sqrt{2} \]

3. Изменение вида диагонали: Мы можем найти сторону квадрата, если используем известное значение диагонали: \[ a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \text{ см} \]

4. Согласно условию задачи, угол между диагональю и боковой гранью равен 30°. Это означает, что мы можем также рассмотреть треугольник, который образуется в сечении, где одна сторона — это диагональ, а другая — сторона призмы (которая является высотой). Для этого воспользуемся тригонометрическими соотношениями.

   В данном случае, так как угол известен, мы можем использовать формулу: \[ h = d \cdot \sin(\alpha) \]

   Высота \(h\) боковой грани (где \(\alpha = 30°\)): \[ h = 20 \cdot \sin(30°) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10 \text{ см} \]

5. Площадь основания: Площадь квадрата (основания призмы) вычисляется по формуле: \[ S = a^2 = (10\sqrt{2})^2 = 100 \cdot 2 = 200 \text{ см}^2 \]

6. Ответ: Площадь основания правильной четырёхугольной призмы равна 200 см².

Таким образом, мы нашли площадь основания, использовав свойства диагонали и треугольника, образованного углом между боковой гранью и диагональю.