Задача 467, 469, 471. Напиши дано и решение

Конечно! Давайте разберем задачи одну за другой.

Задача 467:

Дано:

• Треугольник \( ABC \) с основанием \( BC \).
• Отрезок \( BM = 7.5 \) см.
• Угол \( \angle MBC = 15^\circ \).

Найти:

• Боковую сторону \( AB \).

Решение:

1. Из условия задачи мы имеем угол \( \angle MBC \) и отрезок \( BM \).
2. Используем косинус угла, чтобы найти \( AB \).
3. Формула косинуса: \[ \cos(\angle MBC) = \frac{BM}{AB} \]
4. Подставляем известные значения: \[ \cos(15^\circ) = \frac{7.5}{AB} \]
5. Выразим \( AB \): \[ AB = \frac{7.5}{\cos(15^\circ)} \]
6. Рассчитайте \( \cos(15^\circ) \) по известной формуле: \[ \cos(15^\circ) \approx 0.9659 \]
7. Тогда: \[ AB \approx \frac{7.5}{0.9659} \approx 7.77 \, \text{см} \]

Таким образом, длина стороны \( AB \) приближённо равна 7.77 см.

Задача 469:

Дано:

• Биссектриса \( AM \) равнобедренного треугольника \( ABC \) пересекает \( BC \) в точке \( O \).
• Требуется доказать, что \( AO = OM \).

Доказательство:

1. В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота из вершины равны.
2. Следовательно, \( AM \) не только биссектриса, но и медиана.
3. Это означает, что \( O \) является серединой \( BC \).
4. Поскольку \( A \) равнобедренный, и \( AM \) равнобедренного треугольника \( ABC \) равна медиане, то: \[ AO = OM \]

Таким образом, утверждение верно, и \( AO = OM \).

Задача 471:

Дано:

• Углы \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle BCD = 30^\circ \).
• \( BC = 12 \) см.
• Описана окружность \( ABC \).

Найти:

• Длину отрезка \( AD \).

Решение:

1. Поскольку угол \( \angle BCD = 30^\circ \), можно воспользоваться свойствами треугольников и тригонометрическими функциями.
2. В прямоугольном треугольнике с углом \( 30^\circ \): \[ \text{Синус } 30^\circ = 0.5 \]
3. Воспользуемся формулой для нахождения длины противоположной стороны.
4. В данном контексте известно, что \( BC = 12 \) (гипотенуза). Тогда длина противоположной стороны (перпендикуляра от \( D \) на \( BC \)): \[ BD = BC \times \sin(30^\circ) = 12 \times 0.5 = 6 \, \text{см} \]
5. Учитывая, что \( \angle C = 90^\circ \), \( AD = BD = 6 \, \text{см} \).

Следовательно, длина отрезка \( AD = 6 \, \text{см} \).

Если есть необходимость, всегда можно задать дополнительные вопросы для углубления понимания!