.

Давай разбираться с проблемой по шагам. Перед нами задача нахождения номера члена геометрической прогрессии по её свойствам.

По условию задачи, знаменатель геометрической прогрессии \( q \) отличен от единицы. Это значит, что прогрессия не является постоянной. Также нам известно, что модуль некоего члена этой прогрессии равен \( \sqrt{a_1 \cdot a_{20}} \), где \( a_1 \) – первый член прогрессии, а \( a_{20} \) – двадцатый член.

Формула \( n \)-го члена геометрической прогрессии выглядит так: \( a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)} \).

Для двадцатого члена прогрессии формула будет: \( a_{20} = a_1 \cdot q^{19} \).

Теперь мы знаем, что \( |a_n| = \sqrt{a_1 \cdot a_{20}} \). Подставим в это уравнение \( a_{20} \):

\[ |a_n| = \sqrt{a_1 \cdot (a_1 \cdot q^{19})} = \sqrt{a_1^2 \cdot q^{19}} = |a_1 \cdot q^{9.5}| \]

Так как модули равны, можем сказать, что:

\[ a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)} = \pm a_1 \cdot q^{9.5} \]

Теперь нам надо сравнить степени \( q \):

\( n - 1 = 9.5 \)

\[ n = 9.5 + 1 \]

\[ n = 10.5 \]

Но номер члена прогрессии должен быть целым числом, значит, мы где-то ошиблись, так как 10.5 получить не можем. Попробуем взять модуль уже после того, как подставим формулы для членов прогрессии:

\[ |a_n| = |\sqrt{a_1^2 \cdot q^{19}}| = |a_1 \cdot q^{9.5}| \]

В данном случае \( n-1 \) должно быть равно \( 9.5 \) или \( -9.5 \), так как при возведении числа в квадрат модуль числа не играет роли:

Если \( n - 1 = 9.5 \), то \( n = 10.5 \), что невозможно, так как \( n \) должно быть целым числом. Если \( n - 1 = -9.5 \), то \( n = -8.5 \), что также невозможно, так как \( n \) должно быть положительным целым числом.

Есть подозрение, что задача изображенная на картинке не имеет решения по полученным данным или в задаче есть ошибка. В обычных условиях при использовании корня из произведения двух членов прогрессии их номера должны отличаться на четное число, чтобы можно было четко выделить средний член. Возможно, что-то упустили или нужны дополнительные данные.