«Тригонометрия» бөлімі бойынша жиынтық бағалау ІІІ тоқсан І нұска 5. (6 балл) Өрнекті ықшамдаңдар: 1) sin^2 (- alpha) + tan(- alpha) * cot alpha 2) 1 + sin(pi - alpha) *…

Давайте разберем вашу задачу по тригонометрии и предоставим подробные объяснения для каждого из пунктов.

1) Упрощение выражения: \( \sin^2 (-\alpha) + \tan(-\alpha) \cdot \cot \alpha \)

Шаг 1: Применение тригонометрических тождеств

Сначала используем свойства тригонометрических функций:

• \( \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) \)
• \( \tan(-\alpha) = -\tan(\alpha) \)
• \( \cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} \)

Теперь подставим значения:

\[ \sin^2(-\alpha) = \sin^2(\alpha) \] \[ \tan(-\alpha) = -\tan(\alpha) \]

Шаг 2: Подставим это в выражение:

\[ \sin^2(-\alpha) + \tan(-\alpha) \cdot \cot \alpha = \sin^2(\alpha) - \tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) \]

Шаг 3: Упростим второй член:

\[ \tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = \tan(\alpha) \cdot \frac{1}{\tan(\alpha)} = 1 \]

Теперь у нас есть выражение:

\[ \sin^2(\alpha) - 1 \]

Шаг 4: Используем квадратные тождества:

Теперь можем использовать основное тригонометрическое тождество:

\[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \Rightarrow \sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) \]

Шаг 5: Подставляем обратно:

\[ 1 - \cos^2(\alpha) - 1 = -\cos^2(\alpha) \]

Ответ:

\[ \sin^2(-\alpha) + \tan(-\alpha) \cdot \cot \alpha = -\cos^2(\alpha) \]

---

2) Упрощение выражения: \( 1 + \sin(\pi - \alpha) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) - \cos^2 \alpha \)

Шаг 1: Используем свойства синуса и косинуса

• \( \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) \)
• \( \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \sin(\alpha) \)

Подставим в выражение:

\[ 1 + \sin(\alpha) \cdot \sin(\alpha) - \cos^2(\alpha) \] \[ = 1 + \sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha) \]

Шаг 2: Используем основное тригонометрическое тождество:

\[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \Rightarrow \sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) \]

Шаг 3: Подставим:

\[ 1 + (1 - \cos^2(\alpha)) - \cos^2(\alpha) = 1 + 1 - 2\cos^2(\alpha) = 2 - 2\cos^2(\alpha) \]

Ответ:

\[ 2 - 2\cos^2(\alpha) = 2(1 - \cos^2(\alpha)) = 2\sin^2(\alpha) \]

---

3) Упрощение выражения: \( \frac{\sin(\pi - \alpha)}{\tan(\pi + \alpha)} \cdot \frac{\cot\left(\frac{\pi}{2} \cdot \alpha\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)} \)

Шаг 1: Используем свойства синуса и тангенса

• \( \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) \)
• \( \tan(\pi + \alpha) = \tan(\alpha) \)
• \( \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin(\alpha) \)

Шаг 2: Подставим в выражение:

\[ \frac{\sin(\alpha)}{\tan(\alpha)} \cdot \frac{\cot\left(\frac{\pi}{2} \cdot \alpha\right)}{-\sin(\alpha)} \]

Шаг 3: Упрощаем:

\[ = \frac{\sin(\alpha)}{\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}} \cdot \frac{\cot\left(\frac{\pi}{2} \cdot \alpha\right)}{-\sin(\alpha)} = \cos(\alpha) \cdot \frac{\cot\left(\frac{\pi}{2} \cdot \alpha\right)}{-\sin(\alpha)} \]

4) Доказать: \( (1 + \tan^2 \beta)(1 - \cos^2 \beta) = \tan^2 \beta \)

Шаг 1: Используем известные тождества

Обратите внимание, что \( 1 - \cos^2 \beta = \sin^2 \beta \).

Шаг 2: Подставляем:

\[ (1 + \tan^2 \beta) \cdot \sin^2 \beta \]

Шаг 3: Используем тождество \( \tan^2 \beta = \frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta} \):

\[ 1 + \tan^2 \beta = \frac{1}{\cos^2 \beta} \]

Таким образом:

\[ (1 + \tan^2 \beta) \cdot \sin^2 \beta = \frac{1}{\cos^2 \beta} \cdot \sin^2 \beta = \frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta} = \tan^2 \beta \]

Ответ:

\[ (1 + \tan^2 \beta)(1 - \cos^2 \beta) = \tan^2 \beta \quad \text{доказано}. \]

Надеюсь, эти объяснения помогли вам понять задачу! Если есть дополнительные вопросы или требуется более подробное объяснение, пожалуйста, дайте знать.