«Тригонометрия» бөлімі бойынша жиынтық бағалау ІІІ тоқсан І нұска 5. (6 балл) Өрнекті ықшамдаңдар: 1) sin^2 (- alpha) + tan(- alpha) * cot alpha 2) 1 + sin(pi - alpha) * cos((3pi)/2 - alpha) - cos^2 alpha 3) (sin(pi - alpha))/(tan(pi + alpha)) * (cot(pi/2 * alpha))/(cos(pi/2 + alpha)) 6) (дәлелдеңіз: B)) (1 + tan^2 beta)(1 - cos^2 beta) = tan^2 beta

Давайте разберем вашу задачу по тригонометрии и предоставим подробные объяснения для каждого из пунктов. ### 1) Упрощение выражения: \( \sin^2 (-\alpha) + \tan(-\alpha) \cdot \cot \alpha \) **Шаг 1: Применение тригонометрических тождеств** Сначала используем свойства тригонометрических функций: - \( \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) \) - \( \tan(-\alpha) = -\tan(\alpha) \) - \( \cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} \) Теперь подставим значения: \[ \sin^2(-\alpha) = \sin^2(\alpha) \] \[ \tan(-\alpha) = -\tan(\alpha) \] **Шаг 2: Подставим это в выражение:** \[ \sin^2(-\alpha) + \tan(-\alpha) \cdot \cot \alpha = \sin^2(\alpha) - \tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) \] **Шаг 3: Упростим второй член:** \[ \tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = \tan(\alpha) \cdot \frac{1}{\tan(\alpha)} = 1 \] Теперь у нас есть выражение: \[ \sin^2(\alpha) - 1 \] **Шаг 4: Используем квадратные тождества:** Теперь можем использовать основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \Rightarrow \sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) \] **Шаг 5: Подставляем обратно:** \[ 1 - \cos^2(\alpha) - 1 = -\cos^2(\alpha) \] **Ответ:** \[ \sin^2(-\alpha) + \tan(-\alpha) \cdot \cot \alpha = -\cos^2(\alpha) \] --- ### 2) Упрощение выражения: \( 1 + \sin(\pi - \alpha) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) - \cos^2 \alpha \) **Шаг 1: Используем свойства синуса и косинуса** - \( \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) \) - \( \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \sin(\alpha) \) Подставим в выражение: \[ 1 + \sin(\alpha) \cdot \sin(\alpha) - \cos^2(\alpha) \] \[ = 1 + \sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha) \] **Шаг 2: Используем основное тригонометрическое тождество:** \[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \Rightarrow \sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) \] **Шаг 3: Подставим:** \[ 1 + (1 - \cos^2(\alpha)) - \cos^2(\alpha) = 1 + 1 - 2\cos^2(\alpha) = 2 - 2\cos^2(\alpha) \] **Ответ:** \[ 2 - 2\cos^2(\alpha) = 2(1 - \cos^2(\alpha)) = 2\sin^2(\alpha) \] --- ### 3) Упрощение выражения: \( \frac{\sin(\pi - \alpha)}{\tan(\pi + \alpha)} \cdot \frac{\cot\left(\frac{\pi}{2} \cdot \alpha\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)} \) **Шаг 1: Используем свойства синуса и тангенса** - \( \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) \) - \( \tan(\pi + \alpha) = \tan(\alpha) \) - \( \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin(\alpha) \) **Шаг 2: Подставим в выражение:** \[ \frac{\sin(\alpha)}{\tan(\alpha)} \cdot \frac{\cot\left(\frac{\pi}{2} \cdot \alpha\right)}{-\sin(\alpha)} \] **Шаг 3: Упрощаем:** \[ = \frac{\sin(\alpha)}{\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}} \cdot \frac{\cot\left(\frac{\pi}{2} \cdot \alpha\right)}{-\sin(\alpha)} = \cos(\alpha) \cdot \frac{\cot\left(\frac{\pi}{2} \cdot \alpha\right)}{-\sin(\alpha)} \] ### 4) Доказать: \( (1 + \tan^2 \beta)(1 - \cos^2 \beta) = \tan^2 \beta \) **Шаг 1: Используем известные тождества** Обратите внимание, что \( 1 - \cos^2 \beta = \sin^2 \beta \). **Шаг 2: Подставляем:** \[ (1 + \tan^2 \beta) \cdot \sin^2 \beta \] **Шаг 3: Используем тождество \( \tan^2 \beta = \frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta} \):** \[ 1 + \tan^2 \beta = \frac{1}{\cos^2 \beta} \] Таким образом: \[ (1 + \tan^2 \beta) \cdot \sin^2 \beta = \frac{1}{\cos^2 \beta} \cdot \sin^2 \beta = \frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta} = \tan^2 \beta \] **Ответ:** \[ (1 + \tan^2 \beta)(1 - \cos^2 \beta) = \tan^2 \beta \quad \text{доказано}. \] Надеюсь, эти объяснения помогли вам понять задачу! Если есть дополнительные вопросы или требуется более подробное объяснение, пожалуйста, дайте знать.