Реши

Давайте разберём решение задачи шаг за шагом.

Шаг 1: Разбор функции

Функция задана кусочно:

1. \( y = -x^2 \), если \( |x| \leq 1 \).
2. \( y = |x| - 2 \), если \( |x| > 1 \).

Шаг 2: Построение графика

Часть 1: \( y = -x^2 \) (квадратичная парабола)

• Квадратичная функция \( y = -x^2 \) — это вниз открытая парабола, проходящая через точки:
  • \( x = 0 \): \( y = 0 \)
  • \( x = 1 \): \( y = -1 \)
  • \( x = -1 \): \( y = -1 \)

Построим график этой части отрезка от \( x = -1 \) до \( x = 1 \).

Часть 2: \( y = |x| - 2 \) (модуль)

• При \( x > 1 \), функция становится \( y = x - 2 \) (прямая).
  • \( x = 1 \): \( y = -1 \)
• При \( x < -1 \), функция становится \( y = -x - 2 \).
  • \( x = -1 \): \( y = -1 \)

Построим график этой части для \( x > 1 \) и \( x < -1 \).

Шаг 3: Найти пересечения с \( y = m \)

Нам нужно определить, при каких значениях \( m \) график \( y = m \) имеет с функцией три общие точки пересечения.

Пересечение с \( y = -x^2 \) и \( y = m \)

• Решаем уравнение \( -x^2 = m \):
  • \( x = \pm \sqrt{-m} \)
  • Это имеет решение, если \( m \leq 0 \).

Пересечение с \( y = |x| - 2 \) и \( y = m \)

• Для \( x > 1 \): равенство \( x - 2 = m \)
  • \( x = m + 2 \)
• Для \( x < -1 \): равенство \(-x - 2 = m \)
  • \( x = -m - 2 \)

Шаг 4: Подсчёт точек пересечения

Для трех точек пересечения:

• Две точки пересечения должны быть от параболы \( y = -x^2 \).
• Одна точка от \( y = |x| - 2 \).

Так, из \( -x^2 = m \) имеем две точки, если \( m < 0 \). Из \( |x| - 2 = m \) у нас одна точка пересечения:

• При \( m = -1 \), так как тогда:
  • \( y = -x^2 \) даёт две точки пересечения на \( x = \pm 1 \).
  • \( y = x - 2 = -1 \) даёт \( x = 1 \) или \( y = -x - 2 = -1 \) даёт \( x = -1 \).

Таким образом, \( m = -1 \) будет иметь ровно три общие точки.

Ответ

Значение \( m \), при котором функция \( y = m \) имеет с графиком функции три общие точки — это \( m = -1 \).