При каких значениях р вершины парабол у = х2+2px +3 иy = x2-6px + p расположены по разные стороны от оси х?
Для того чтобы понять, при каких значениях \( p \) вершины парабол \( y = x^2 + 2px + 3 \) и \( y = x^2 - 6px + p \) расположены по разные стороны от оси \( x \), нам сначала нужно найти координаты вершин этих парабол.
Шаг 1: Найдем координаты вершин парабол
Форма параболы в общем виде: \( y = ax^2 + bx + c \). Вершина параболы находится по формуле: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] где \( (x_v, y_v) \) — координаты вершины.
Парабола 1: \( y = x^2 + 2px + 3 \)
Для этой параболы \( a = 1 \), \( b = 2p \): \[ x_{v1} = -\frac{2p}{2 \cdot 1} = -p \]
Чтобы найти \( y_{v1} \) подставим \( x_{v1} \) обратно в уравнение: \[ y_{v1} = (-p)^2 + 2p(-p) + 3 = p^2 - 2p^2 + 3 = -p^2 + 3 \]
Таким образом, вершина первой параболы: \[ V_1 = (-p, -p^2 + 3) \]
Парабола 2: \( y = x^2 - 6px + p \)
Для этой параболы \( a = 1 \), \( b = -6p \): \[ x_{v2} = -\frac{-6p}{2 \cdot 1} = 3p \]
Находи \( y_{v2} \): \[ y_{v2} = (3p)^2 - 6p(3p) + p = 9p^2 - 18p^2 + p = -9p^2 + p \]
Таким образом, вершина второй параболы: \[ V_2 = (3p, -9p^2 + p) \]
Шаг 2: Условия по различию сторон от оси X
Вершины парабол будут находиться по разные стороны от оси \( x \), если одна из них выше оси, а другая ниже. Это будет означать, что один из \( y \)-координат вершины должен быть больше нуля, а другой — меньше нуля.
Это нам дает два неравенства для решения:
- \( -p^2 + 3 > 0 \) (для первой параболы выше оси)
- \( -9p^2 + p < 0 \) (для второй параболы ниже оси)
Шаг 3: Решение неравенств
Решим первое неравенство: \[ -p^2 + 3 > 0 \implies p^2 < 3 \implies |p| < \sqrt{3} \]
Следовательно: \[ -\sqrt{3} < p < \sqrt{3} \]
Теперь решим второе неравенство: \[ -9p^2 + p < 0 \implies p(-9p + 1) < 0 \]
Это произведение будет меньше нуля, если один из множителей положителен, а другой отрицателен:
- \( p > 0 \) и \( -9p + 1 < 0 \) (т.е. \( p > \frac{1}{9} \))
- \( p < 0 \) и \( -9p + 1 > 0 \) (поскольку \( p < 0 \), это не допустимо)
Итак, остается только первый случай: \[ \frac{1}{9} < p < \sqrt{3} \]
Шаг 4: Объединяем условия
Таким образом, рассматриваемые значения \( p \) должны удовлетворять: \[ \frac{1}{9} < p < \sqrt{3} \]
Вывод
Вершины парабол \( y = x^2 + 2px + 3 \) и \( y = x^2 - 6px + p \) будут располагаться по разные стороны от оси \( x \) при значениях \( p \) из интервала: \[ \frac{1}{9} < p < \sqrt{3} \]
