Чтобы найти угол ( B ) в треугольнике ( ABC ), где даны стороны ( AC = 4\sqrt{3} ), ( AB = 4 ) и ( BC = 8 ), мы можем использовать теорему косинусов.
Теорема косинусов гласит:
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)
]
где ( c ) — сторона, напротив угла ( C ), а ( a ) и ( b ) — остальные две стороны.
В нашем случае:
- ( a = AC = 4\sqrt{3} )
- ( b = AB = 4 )
- ( c = BC = 8 )
- Угол ( C ) в данном случае это угол ( B ).
Подставляем значения в формулу:
[
8^2 = (4\sqrt{3})^2 + 4^2 - 2 \cdot (4\sqrt{3}) \cdot 4 \cdot \cos(B)
]
Теперь посчитаем каждую часть уравнения.
- ( 8^2 = 64 )
- ( (4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48 )
- ( 4^2 = 16 )
Таким образом, уравнение становится:
[
64 = 48 + 16 - 32\sqrt{3} \cdot \cos(B)
]
Объединяем числа слева:
[
64 = 64 - 32\sqrt{3} \cdot \cos(B)
]
Теперь вычтем 64 из обеих сторон:
[
0 = -32\sqrt{3} \cdot \cos(B)
]
Это означает, что:
[
32\sqrt{3} \cdot \cos(B) = 0
]
Для этого уравнения ( \cos(B) = 0 ). Это происходит, когда угол ( B ) равен ( 90^\circ ).
Таким образом, угол ( B ) равен:
[
\boxed{90^\circ}
]
