Для решения этой задачи мы воспользуемся моделью биномиального распределения, так как у нас есть независимые события, каждое из которых может иметь два исхода: "работает" или "выходит из строя".
Шаг 1: Понимание условий задачи
У нас есть 10 узлов, вероятность безотказной работы каждого узла ( p = 0,8 ). Это означает, что вероятность отказа узла ( q = 1 - p = 0,2 ) (то есть ( 20% )).
Необходимо найти вероятность того, что отказали 4 узла из 10.
Шаг 2: Формула биномиального распределения
Вероятность того, что в ( n ) испытаниях (в нашем случае 10 узлов) произойдут ( k ) успешных исходов (в нашем случае отказы узлов), описывается формулой биномиального распределения:
[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}
]
где:
- ( \binom{n}{k} ) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как ( \frac{n!}{k!(n-k)!} ),
- ( p ) — вероятность успеха (в нашем случае - работы узла),
- ( q ) — вероятность неудачи (в нашем случае - отказа узла),
- ( n ) — общее количество испытаний (в нашем случае 10),
- ( k ) — количество успехов (в нашем случае 4 отказывающих узла).
Шаг 3: Подстановка значений
Подставим значения в формулу, где ( n = 10 ), ( k = 4 ), ( p = 0,2 ), ( q = 0,8 ):
[
P(X = 4) = \binom{10}{4} (0,2)^4 (0,8)^{10-4}
]
Шаг 4: Вычисление биномиального коэффициента
Для начала вычислим биномиальный коэффициент ( \binom{10}{4} ):
[
\binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210
]
Шаг 5: Вычисление вероятностей
Теперь подставим биномиальный коэффициент в формулу:
[
P(X = 4) = 210 \times (0,2)^4 \times (0,8)^6
]
Вычислим ( (0,2)^4 ) и ( (0,8)^6 ):
[
(0,2)^4 = 0,0016
]
[
(0,8)^6 = 0,262144
]
Шаг 6: Объединение всех частей
Теперь подставим все вычисления в формулу:
[
P(X = 4) = 210 \times 0,0016 \times 0,262144
]
Выполним умножение:
[
P(X = 4) = 210 \times 0,0004194304 \approx 0,088
]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что за время ( t ) откажут 4 узла, составляет приблизительно ( 0,088 ) или ( 8,8% ).
