Прибор состоит из 10 узлов.Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время t равна p = 0,8.Узлы выходят из строя независимо друг от друга.Найдите вероятность…

Для решения этой задачи мы воспользуемся моделью биномиального распределения, так как у нас есть независимые события, каждое из которых может иметь два исхода: "работает" или "выходит из строя".

Шаг 1: Понимание условий задачи

У нас есть 10 узлов, вероятность безотказной работы каждого узла \( p = 0,8 \). Это означает, что вероятность отказа узла \( q = 1 - p = 0,2 \) (то есть \( 20\% \)).

Необходимо найти вероятность того, что отказали 4 узла из 10.

Шаг 2: Формула биномиального распределения

Вероятность того, что в \( n \) испытаниях (в нашем случае 10 узлов) произойдут \( k \) успешных исходов (в нашем случае отказы узлов), описывается формулой биномиального распределения:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} \]

где:

• \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \),
• \( p \) — вероятность успеха (в нашем случае - работы узла),
• \( q \) — вероятность неудачи (в нашем случае - отказа узла),
• \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае 10),
• \( k \) — количество успехов (в нашем случае 4 отказывающих узла).

Шаг 3: Подстановка значений

Подставим значения в формулу, где \( n = 10 \), \( k = 4 \), \( p = 0,2 \), \( q = 0,8 \):

\[ P(X = 4) = \binom{10}{4} (0,2)^4 (0,8)^{10-4} \]

Шаг 4: Вычисление биномиального коэффициента

Для начала вычислим биномиальный коэффициент \( \binom{10}{4} \):

\[ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \]

Шаг 5: Вычисление вероятностей

Теперь подставим биномиальный коэффициент в формулу:

\[ P(X = 4) = 210 \times (0,2)^4 \times (0,8)^6 \]

Вычислим \( (0,2)^4 \) и \( (0,8)^6 \):

\[ (0,2)^4 = 0,0016 \]

\[ (0,8)^6 = 0,262144 \]

Шаг 6: Объединение всех частей

Теперь подставим все вычисления в формулу:

\[ P(X = 4) = 210 \times 0,0016 \times 0,262144 \]

Выполним умножение:

\[ P(X = 4) = 210 \times 0,0004194304 \approx 0,088 \]

Ответ

Таким образом, вероятность того, что за время \( t \) откажут 4 узла, составляет приблизительно \( 0,088 \) или \( 8,8\% \).