Знаменатель геометрической прогрессии равен 3, а сумма пяти первых её членов равна 605. Найдите первый член этой геометрической прогрессии.

Давайте разберем задачу пошагово.

Дано:

• Знаменатель (рациональный множитель) геометрической прогрессии \( q = 3 \).
• Сумма первых 5 членов геометрической прогрессии \( S_5 = 605 \).

Формулы:

Сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

\[ S_n = a \frac{q^n - 1}{q - 1} \]

где:

• \( S_n \) — сумма первых \( n \) членов,
• \( a \) — первый член геометрической прогрессии,
• \( q \) — знаменатель,
• \( n \) — количество членов.

В данном случае:

Поскольку мы ищем сумму первых 5 членов, подставим \( n = 5 \):

\[ S_5 = a \frac{q^5 - 1}{q - 1} \]

Подставим известные значения \( S_5 = 605 \) и \( q = 3 \):

\[ 605 = a \frac{3^5 - 1}{3 - 1} \]

Теперь вычислим \( 3^5 \):

\[ 3^5 = 243 \]

Подставляем это значение в формулу:

\[ 605 = a \frac{243 - 1}{2} \]

Это упрощается до:

\[ 605 = a \frac{242}{2} = a \cdot 121 \]

Теперь выразим \( a \):

\[ a = \frac{605}{121} \]

Если посчитать:

\[ 605 \div 121 = 5 \]

Ответ:

Первый член геометрической прогрессии \( a = 5 \).

Таким образом, первый член вашей геометрической прогрессии равен 5.