Первый и второй насосы, работая вместе, наполняют бассейн за 12 12 минут, второй и третий — за 15 15 минут, а первый и третий — за 20 20 минут. За сколько минут наполнится бассейн…

Чтобы решить данную задачу, найдем скорость работы каждого насоса и затем определим, как быстро они смогут наполнить бассейн, работая вместе.

1. Обозначим скорости насосов:

   • Пусть скорость первого насоса равна \( A \) бассейнов в минуту.
   • Пусть скорость второго насоса равна \( B \) бассейнов в минуту.
   • Пусть скорость третьего насоса равна \( C \) бассейнов в минуту.

2. По условию задачи у нас есть следующие данные:

   • Первый и второй насосы вместе наполняют бассейн за 12 минут. Это значит, что их совместная скорость: \[ A + B = \frac{1}{12} \quad (1) \]

   • Второй и третий насосы вместе наполняют бассейн за 15 минут: \[ B + C = \frac{1}{15} \quad (2) \]

   • Первый и третий насосы вместе наполняют бассейн за 20 минут: \[ A + C = \frac{1}{20} \quad (3) \]

3. Теперь у нас есть система из трех уравнений. Чтобы решить её, мы можем выразить одну переменную через другую.

   • Решим первое уравнение для \( A \): \[ A = \frac{1}{12} - B \quad (4) \]

4. Подставим \( A \) из уравнения (4) в уравнение (3): \[ \left( \frac{1}{12} - B \right) + C = \frac{1}{20} \] Умножим всю систему на 60, чтобы избавиться от дробей: \[ 5 - 60B + 60C = 3 \] Упрощаем: \[ 60C - 60B = -2 \] Отсюда: \[ 30C - 30B = -1 \implies C - B = -\frac{1}{30} \quad (5) \]

5. Подставим (5) в уравнение (2): \[ B + \left( B - \frac{1}{30} \right) = \frac{1}{15} \] Упрощаем: \[ 2B - \frac{1}{30} = \frac{1}{15} \] Умножим все на 30: \[ 60B - 1 = 2 \implies 60B = 3 \implies B = \frac{1}{20} \]

6. Найдем \( A \) и \( C \): Подставим значение \( B \) в (1): \[ A + \frac{1}{20} = \frac{1}{12} \] Умножим всё на 60: \[ 60A + 3 = 5 \implies 60A = 2 \implies A = \frac{1}{30} \]

   Подставим значение \( B \) в уравнение (5): \[ C = B - \frac{1}{30} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} \] Найдем общий знаменатель (60): \[ C = \frac{3}{60} - \frac{2}{60} = \frac{1}{60} \]

7. Теперь у нас есть скорости всех насосов: \[ A = \frac{1}{30}, \, B = \frac{1}{20}, \, C = \frac{1}{60} \]

8. Найдем общую скорость всех трех насосов: \[ A + B + C = \frac{1}{30} + \frac{1}{20} + \frac{1}{60} \] Приведем к общему знаменателю (60): \[ A + B + C = \frac{2}{60} + \frac{3}{60} + \frac{1}{60} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10} \]

9. Таким образом, общая скорость всех насосов вместе \( \frac{1}{10} \) бассейнов в минуту. Это значит, что они наполнят бассейн за: \[ \text{время} = \frac{1}{A + B + C} = \frac{1}{\frac{1}{10}} = 10 \text{ минут}. \]

Итак, бассейн наполнится при одновременной работе всех трех насосов за 10 минут.