Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 1,8 + 8t - 5t2, где h - высота в метрах, t - время в секундах, прошедшее с момента броска. сколько секунд мяч…
Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 1,8 + 8t - 5t2, где h - высота в метрах, t - время в секундах, прошедшее с момента броска. сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 4,2 метров?
Решим задачу, используя уравнение высоты мяча над землёй:
\[ h(t) = 1,8 + 8t - 5t^2 \]
Нам необходимо найти, в течение какого времени мяч будет находиться на высоте не менее 4,2 метра. Для этого начнем с неравенства:
\[ h(t) \geq 4,2 \]
Подставим выражение для высоты:
\[ 1,8 + 8t - 5t^2 \geq 4,2 \]
Теперь приводим уравнение к стандартному виду:
\[ 8t - 5t^2 \geq 4,2 - 1,8 \]
Считаем правую часть:
\[ 8t - 5t^2 \geq 2,4 \]
Переносим 2,4 влево:
\[ 8t - 5t^2 - 2,4 \geq 0 \]
Теперь упорядочим уравнение:
\[ -5t^2 + 8t - 2,4 \geq 0 \]
Для удобства можем умножить все части неравенства на -1, при этом знак неравенства поменяется на противоположный:
\[ 5t^2 - 8t + 2,4 \leq 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение, соответствующее левую части неравенства:
\[ 5t^2 - 8t + 2,4 = 0 \]
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения \( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \):
Где \( a = 5 \), \( b = -8 \), \( c = 2,4 \).
В первую очередь, находим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2,4 \] \[ D = 64 - 48 = 16 \]
Теперь находим корни:
\[ t = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{8 \pm 4}{10} \]
Это даёт нам два значения для \( t \):
- \( t_1 = \frac{12}{10} = 1,2 \)
- \( t_2 = \frac{4}{10} = 0,4 \)
Теперь мы имеем два корня: \( t_1 = 1,2 \) и \( t_2 = 0,4 \). Чтобы понять, когда неравенство выполняется, проверим знак квадратного трифункции на промежутках:
- \( t < 0,4 \)
- \( 0,4 \leq t \leq 1,2 \)
- \( t > 1,2 \)
Поскольку коэффициент при \( t^2 \) положительный (5), парабола "распределена" вверх, а значит:
- Она положительна вне отрезка \( [0,4; 1,2] \)
- Она отрицательна на отрезке \( [0,4; 1,2] \)
Итак, мяч будет находиться на высоте не ниже 4,2 метров в промежутке от \( t = 0,4 \) до \( t = 1,2 \).
Теперь найдём продолжительность этого времени:
\[ \Delta t = t_1 - t_2 = 1,2 - 0,4 = 0,8 \text{ секунд} \]
Таким образом, мяч будет находиться на высоте не менее 4,2 метров в течение 0,8 секунд.
