Решим задачу, используя уравнение высоты мяча над землёй:
[ h(t) = 1,8 + 8t - 5t^2 ]
Нам необходимо найти, в течение какого времени мяч будет находиться на высоте не менее 4,2 метра. Для этого начнем с неравенства:
[
h(t) \geq 4,2
]
Подставим выражение для высоты:
[
1,8 + 8t - 5t^2 \geq 4,2
]
Теперь приводим уравнение к стандартному виду:
[
8t - 5t^2 \geq 4,2 - 1,8
]
Считаем правую часть:
[
8t - 5t^2 \geq 2,4
]
Переносим 2,4 влево:
[
8t - 5t^2 - 2,4 \geq 0
]
Теперь упорядочим уравнение:
[
-5t^2 + 8t - 2,4 \geq 0
]
Для удобства можем умножить все части неравенства на -1, при этом знак неравенства поменяется на противоположный:
[
5t^2 - 8t + 2,4 \leq 0
]
Теперь решим квадратное уравнение, соответствующее левую части неравенства:
[
5t^2 - 8t + 2,4 = 0
]
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения ( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ):
Где ( a = 5 ), ( b = -8 ), ( c = 2,4 ).
В первую очередь, находим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2,4
]
[
D = 64 - 48 = 16
]
Теперь находим корни:
[
t = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{8 \pm 4}{10}
]
Это даёт нам два значения для ( t ):
- ( t_1 = \frac{12}{10} = 1,2 )
- ( t_2 = \frac{4}{10} = 0,4 )
Теперь мы имеем два корня: ( t_1 = 1,2 ) и ( t_2 = 0,4 ). Чтобы понять, когда неравенство выполняется, проверим знак квадратного трифункции на промежутках:
- ( t < 0,4 )
- ( 0,4 \leq t \leq 1,2 )
- ( t > 1,2 )
Поскольку коэффициент при ( t^2 ) положительный (5), парабола "распределена" вверх, а значит:
- Она положительна вне отрезка ( [0,4; 1,2] )
- Она отрицательна на отрезке ( [0,4; 1,2] )
Итак, мяч будет находиться на высоте не ниже 4,2 метров в промежутке от ( t = 0,4 ) до ( t = 1,2 ).
Теперь найдём продолжительность этого времени:
[
\Delta t = t_1 - t_2 = 1,2 - 0,4 = 0,8 \text{ секунд}
]
Таким образом, мяч будет находиться на высоте не менее 4,2 метров в течение 0,8 секунд.
