Реши уравнение  225 x − x 3 + 225 − x 2 = 0 225x−x 3 +225−x 2 =0.

Чтобы решить уравнение \( 225x - x^3 + 225 - x^2 = 0 \), давайте сначала упорядочим его. Мы можем переписать уравнение следующим образом: \[ -x^3 - x^2 + 225x + 225 = 0 \] Теперь удобно будет умножить все уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов: \[ x^3 + x^2 - 225x - 225 = 0 \] Теперь у нас кубическое уравнение. Мы можем найти корни уравнения, используя метод подбора, или при помощи теоремы Виета, или же используя формулу Кардано, но сначала попробуем найти хотя бы один корень. ### Шаг 1: Подбор корней Мы можем пробовать подставлять различные значения \( x \): - Пусть \( x = 5 \): \[ 5^3 + 5^2 - 225 \cdot 5 - 225 = 125 + 25 - 1125 - 225 = -1200 \quad (\text{не корень}) \] - Пусть \( x = 10 \): \[ 10^3 + 10^2 - 225 \cdot 10 - 225 = 1000 + 100 - 2250 - 225 = -1375 \quad (\text{не корень}) \] - Пусть \( x = 15 \): \[ 15^3 + 15^2 - 225 \cdot 15 - 225 = 3375 + 225 - 3375 - 225 = 0 \quad (\text{корень}) \] Таким образом, \( x = 15 \) является корнем уравнения. ### Шаг 2: Деление многочлена Теперь, зная один корень \( x - 15 \), мы можем разделить кубический многочлен на \( (x - 15) \) с помощью деления многочленов: Используем синтетическое деление: ``` 1 | 1 1 -225 -225 | 15 240 ---------------------------- | 1 16 -15 0 ``` Следовательно, мы имеем: \[ x^3 + x^2 - 225x - 225 = (x - 15)(x^2 + 16x - 15) \] ### Шаг 3: Решение квадратного уравнения Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 + 16x - 15 = 0 \) с помощью формулы дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 256 + 60 = 316 \] Теперь найдем корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 \pm \sqrt{316}}{2} \] Корень \(\sqrt{316}\) можно упростить: \[ \sqrt{316} = \sqrt{4 \cdot 79} = 2\sqrt{79} \] Подставим это обратно: \[ x = \frac{-16 \pm 2\sqrt{79}}{2} = -8 \pm \sqrt{79} \] ### Шаг 4: Итоговые корни Таким образом, окончательные корни уравнения будут: 1. \( x = 15 \) 2. \( x = -8 + \sqrt{79} \) 3. \( x = -8 - \sqrt{79} \) Мы нашли все корни уравнения \( 225x - x^3 + 225 - x^2 = 0 \).