Реши уравнение 225 x − x 3 + 225 − x 2 = 0 225x−x 3 +225−x 2 =0 .

Чтобы решить уравнение \( 225x - x^3 + 225 - x^2 = 0 \), давайте сначала упорядочим его. Мы можем переписать уравнение следующим образом:

\[ -x^3 - x^2 + 225x + 225 = 0 \]

Теперь удобно будет умножить все уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

\[ x^3 + x^2 - 225x - 225 = 0 \]

Теперь у нас кубическое уравнение. Мы можем найти корни уравнения, используя метод подбора, или при помощи теоремы Виета, или же используя формулу Кардано, но сначала попробуем найти хотя бы один корень.

Шаг 1: Подбор корней

Мы можем пробовать подставлять различные значения \( x \):

• Пусть \( x = 5 \):

\[ 5^3 + 5^2 - 225 \cdot 5 - 225 = 125 + 25 - 1125 - 225 = -1200 \quad (\text{не корень}) \]

• Пусть \( x = 10 \):

\[ 10^3 + 10^2 - 225 \cdot 10 - 225 = 1000 + 100 - 2250 - 225 = -1375 \quad (\text{не корень}) \]

• Пусть \( x = 15 \):

\[ 15^3 + 15^2 - 225 \cdot 15 - 225 = 3375 + 225 - 3375 - 225 = 0 \quad (\text{корень}) \]

Таким образом, \( x = 15 \) является корнем уравнения.

Шаг 2: Деление многочлена

Теперь, зная один корень \( x - 15 \), мы можем разделить кубический многочлен на \( (x - 15) \) с помощью деления многочленов:

Используем синтетическое деление:

   1  |   1   1  -225  -225
      |        15  240
----------------------------
      |   1  16   -15   0

Следовательно, мы имеем:

\[ x^3 + x^2 - 225x - 225 = (x - 15)(x^2 + 16x - 15) \]

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 + 16x - 15 = 0 \) с помощью формулы дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 256 + 60 = 316 \]

Теперь найдем корни:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 \pm \sqrt{316}}{2} \]

Корень \(\sqrt{316}\) можно упростить:

\[ \sqrt{316} = \sqrt{4 \cdot 79} = 2\sqrt{79} \]

Подставим это обратно:

\[ x = \frac{-16 \pm 2\sqrt{79}}{2} = -8 \pm \sqrt{79} \]

Шаг 4: Итоговые корни

Таким образом, окончательные корни уравнения будут:

1. \( x = 15 \)
2. \( x = -8 + \sqrt{79} \)
3. \( x = -8 - \sqrt{79} \)

Мы нашли все корни уравнения \( 225x - x^3 + 225 - x^2 = 0 \).