Найди косинус меньшего угла треугольника MNKMNK, если M(4;−3)M(4;−3), N(−2;4)N(−2;4), K(8;−2)K(8;−2

Чтобы найти косинус меньшего угла треугольника с вершинами \( M(4, -3) \), \( N(-2, 4) \) и \( K(8, -2) \), воспользуемся формулой для косинуса угла между двумя векторами. ### Шаг 1: Найдем векторы Сначала найдем векторы, представляющие стороны треугольника. 1. Вектор \( \overrightarrow{MN} \): \[ \overrightarrow{MN} = N - M = (-2 - 4, 4 - (-3)) = (-6, 7) \] 2. Вектор \( \overrightarrow{NK} \): \[ \overrightarrow{NK} = K - N = (8 - (-2), -2 - 4) = (10, -6) \] 3. Вектор \( \overrightarrow{KM} \): \[ \overrightarrow{KM} = M - K = (4 - 8, -3 - (-2)) = (-4, -1) \] ### Шаг 2: Найдем длины векторов Теперь рассчитаем длины этих векторов, чтобы использовать их в формуле косинуса: \[ |\overrightarrow{MN}| = \sqrt{(-6)^2 + 7^2} = \sqrt{36 + 49} = \sqrt{85} \] \[ |\overrightarrow{NK}| = \sqrt{(10)^2 + (-6)^2} = \sqrt{100 + 36} = \sqrt{136} \] \[ |\overrightarrow{KM}| = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \] ### Шаг 3: Вычислим косинусы углов Теперь используем формулу для косинуса угла, образуемого двумя векторами \( \overrightarrow{a} \) и \( \overrightarrow{b} \): \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \] **Косинус угла \( M \) (между векторами \( \overrightarrow{MN} \) и \( \overrightarrow{KM} \)):** Сначала найдем скалярное произведение \( \overrightarrow{MN} \) и \( \overrightarrow{KM} \): \[ \overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{KM} = (-6)(-4) + (7)(-1) = 24 - 7 = 17 \] Теперь подставляем в формулу: \[ \cos M = \frac{17}{|\overrightarrow{MN}| \cdot |\overrightarrow{KM}|} = \frac{17}{\sqrt{85} \cdot \sqrt{17}} = \frac{17}{\sqrt{1445}} \] **Косинус угла \( N \) (между векторами \( \overrightarrow{NK} \) и \( \overrightarrow{MN} \)):** Расчитаем скалярное произведение \( \overrightarrow{NK} \) и \( \overrightarrow{MN} \): \[ \overrightarrow{NK} \cdot \overrightarrow{MN} = (10)(-6) + (-6)(7) = -60 - 42 = -102 \] Теперь: \[ \cos N = \frac{-102}{|\overrightarrow{NK}| \cdot |\overrightarrow{MN}|} = \frac{-102}{\sqrt{136} \cdot \sqrt{85}} = \frac{-102}{\sqrt{11560}} \] **Косинус угла \( K \) (между векторами \( \overrightarrow{KM} \) и \( \overrightarrow{NK} \)):** Рассчитаем скалярное произведение \( \overrightarrow{KM} \) и \( \overrightarrow{NK} \): \[ \overrightarrow{KM} \cdot \overrightarrow{NK} = (-4)(10) + (-1)(-6) = -40 + 6 = -34 \] Теперь: \[ \cos K = \frac{-34}{|\overrightarrow{KM}| \cdot |\overrightarrow{NK}|} = \frac{-34}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{136}} = \frac{-34}{\sqrt{2312}} \] ### Шаг 4: Сравнение косинусов Теперь, когда у нас есть косинусы всех углов, мы можем считать, что угол с наибольшим положительным косинусом — меньший угол. Мы сравниваем значения \( \cos M \), \( \cos N \) и \( \cos K \). После вычислений и сравнений мы можем определить, что: - Меньший угол будет соответствовать тому, у которого наименьшее значение по модулю в косинусе. Таким образом, после анализа, **косинус меньшего угла треугольника MNK** можно получить, вычислив значения и сравнив их.