Упростить выражение

Давайте упростим это выражение шаг за шагом: Выражение: \[ \frac{\sqrt{5} \times 49 \times \sqrt[5]{9} \times 10^{6/5}}{\left(\frac{7}{10}\right)^{1/4}} \] ### Шаг 1: Упрощение числителя 1. **Корень квадратный и корень пятой степени:** - \(\sqrt{5} = 5^{1/2}\) - \(\sqrt[5]{9} = 9^{1/5}\) 2. **Выразим все степени:** - \(49 = 7^2\) - \(10^{6/5} = (2 \times 5)^{6/5} = 2^{6/5} \times 5^{6/5}\) Теперь числитель преобразуется в: \[ 5^{1/2} \times 7^2 \times 9^{1/5} \times 2^{6/5} \times 5^{6/5} \] ### Шаг 2: Упрощение знаменателя \[ \left(\frac{7}{10}\right)^{1/4} = \frac{7^{1/4}}{10^{1/4}} = \frac{7^{1/4}}{(2 \times 5)^{1/4}} = \frac{7^{1/4}}{2^{1/4} \times 5^{1/4}} \] ### Шаг 3: Комбинирование числителя и знаменателя Теперь выражение становится: \[ \frac{5^{1/2} \times 7^2 \times 9^{1/5} \times 2^{6/5} \times 5^{6/5}}{7^{1/4} \times 2^{1/4} \times 5^{1/4}} \] ### Шаг 4: Упростим степени 1. **Степени числа 5:** - \(5^{1/2 + 6/5 - 1/4}\) - Общий знаменатель: \(20\) - \(1/2 = 10/20,\ 6/5 = 24/20,\ 1/4 = 5/20\) - \(5^{10/20 + 24/20 - 5/20} = 5^{29/20}\) 2. **Степени числа 7:** - \(7^{2 - 1/4}\) - Общий знаменатель: \(4\) - \(2 = 8/4,\ 1/4 = 1/4\) - \(7^{8/4 - 1/4} = 7^{7/4}\) 3. **Степени числа 2:** - \(2^{6/5 - 1/4}\) - Общий знаменатель: \(20\) - \(6/5 = 24/20,\ 1/4 = 5/20\) - \(2^{24/20 - 5/20} = 2^{19/20}\) Теперь выражение принимает вид: \[ 5^{29/20} \times 7^{7/4} \times 9^{1/5} \times 2^{19/20} \] ### Упрощение 9: - \(9 = 3^2\), поэтому \(\sqrt[5]{9} = (3^2)^{1/5} = 3^{2/5}\) Итоговое выражение: \[ 5^{29/20} \times 7^{7/4} \times 3^{2/5} \times 2^{19/20} \] Это самое упрощенное выражение с использованием степеней, где возможные дробные степени оставлены для большей наглядности.