упростить выражение

Давайте упростим это выражение шаг за шагом:

Выражение:

\[ \frac{\sqrt{5} \times 49 \times \sqrt[5]{9} \times 10^{6/5}}{\left(\frac{7}{10}\right)^{1/4}} \]

Шаг 1: Упрощение числителя

1. Корень квадратный и корень пятой степени:

   • \(\sqrt{5} = 5^{1/2}\)
   • \(\sqrt[5]{9} = 9^{1/5}\)

2. Выразим все степени:

   • \(49 = 7^2\)
   • \(10^{6/5} = (2 \times 5)^{6/5} = 2^{6/5} \times 5^{6/5}\)

Теперь числитель преобразуется в:

\[ 5^{1/2} \times 7^2 \times 9^{1/5} \times 2^{6/5} \times 5^{6/5} \]

Шаг 2: Упрощение знаменателя

\[ \left(\frac{7}{10}\right)^{1/4} = \frac{7^{1/4}}{10^{1/4}} = \frac{7^{1/4}}{(2 \times 5)^{1/4}} = \frac{7^{1/4}}{2^{1/4} \times 5^{1/4}} \]

Шаг 3: Комбинирование числителя и знаменателя

Теперь выражение становится:

\[ \frac{5^{1/2} \times 7^2 \times 9^{1/5} \times 2^{6/5} \times 5^{6/5}}{7^{1/4} \times 2^{1/4} \times 5^{1/4}} \]

Шаг 4: Упростим степени

1. Степени числа 5:

   • \(5^{1/2 + 6/5 - 1/4}\)
   • Общий знаменатель: \(20\)
   • \(1/2 = 10/20,\ 6/5 = 24/20,\ 1/4 = 5/20\)
   • \(5^{10/20 + 24/20 - 5/20} = 5^{29/20}\)

2. Степени числа 7:

   • \(7^{2 - 1/4}\)
   • Общий знаменатель: \(4\)
   • \(2 = 8/4,\ 1/4 = 1/4\)
   • \(7^{8/4 - 1/4} = 7^{7/4}\)

3. Степени числа 2:

   • \(2^{6/5 - 1/4}\)
   • Общий знаменатель: \(20\)
   • \(6/5 = 24/20,\ 1/4 = 5/20\)
   • \(2^{24/20 - 5/20} = 2^{19/20}\)

Теперь выражение принимает вид:

\[ 5^{29/20} \times 7^{7/4} \times 9^{1/5} \times 2^{19/20} \]

Упрощение 9:

• \(9 = 3^2\), поэтому \(\sqrt[5]{9} = (3^2)^{1/5} = 3^{2/5}\)

Итоговое выражение:

\[ 5^{29/20} \times 7^{7/4} \times 3^{2/5} \times 2^{19/20} \]

Это самое упрощенное выражение с использованием степеней, где возможные дробные степени оставлены для большей наглядности.