Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 87. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 87 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 9 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 77. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Решим задачу, анализируя ходы Петя и Вани и находя минимальное значение \( S \), при котором Ваня может выиграть своим первым ходом после неудачного хода Пети. Перед началом игры у нас есть две кучи камней: первая куча содержит 9 камней, а вторая куча содержит \( S \) камней. ### Ходы игроков 1. **Первый ход Петя**: Петя за один ход может либо добавить 1 камень в одну из куч, или удвоить количество камней в одной из куч. 2. **Первый ход Ваня**: Ваня также может выполнить одно из двух действий, но при этом его целью будет довести общее количество камней до 87 или более, чтобы выиграть. ### Условия выигрыша Петя не должен выигрывать своим первым ходом, чтобы Ваня смог выиграть после этого. ### Анализ В начале игры общее количество камней: \[ 9 + S \] Петя начинает первым и не должен выигрывать. Чтобы понять минимальное значение \( S \), рассмотрим возможности действий Петя. 1. **Если Петя добавит 1 камень**: - Общее количество станет \( 10 + S \). 2. **Если Петя удвоит первую кучу** (9 камней): - Общее количество станет \( 18 + S \). 3. **Если Петя удвоит вторую кучу** (S камней): - Общее количество станет \( 9 + 2S \). Теперь давайте выясним, какая минимальная игра возможна для выигрыша Вани после неудачного хода Пети. ### Выигрышные положения для Вани Для определения минимального \( S \) давайте исследуем, что сможет сделать Ваня после каждого действия Пети. 1. **Петя добавляет 1 камень:** Ваня может добавить 1 камень или удвоить одну из куч. Если он удвоит вторую кучу (если там достаточно камней), он может выиграть, если: \[ 10 + S + 1 \geq 87 \implies S \geq 76 \] Удвоение не приведёт к немедленному выигрышу, если только S не велико. 2. **Петя удвояет первую кучу: \( 18 + S \)** Ваня может выиграть, если он добавит камень во вторую кучу, и получится \( 18 + S + 1 \geq 87 \): \[ S \geq 68 \] 3. **Петя удвояет вторую кучу: \( 9 + 2S \)** Ваня после этого может добавить: \[ 9 + 2S + 1 = 87 \implies 2S = 78 \implies S = 39 \] ### Подсчет возможных значений S Исходя из анализа, у нас есть: - Если Петя добавит 1 камень → С минимально 76. - Если Петя удвоит первую кучу → С минимально 68. - Если Петя удвоит вторую кучу → С минимально 39. Таким образом, минимальное значение \( S \), чтобы Ваня мог выиграть после неудачного хода Пети, равно **39**. ### Ответ: Минимальное значение \( S \), когда Ваня может выиграть, составляет **39**.