Построй график функции y = \dfrac{2-x}{x^2-2x} y= x 2 −2x 2−x и определи, при каком значении k k прямая y = kx y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.
Для того чтобы решить задачу, сначала разберем функцию и определим график функции \( y = \frac{2-x}{x^2-2x} \). Затем найдем условие, при котором прямая \( y = kx \) будет иметь с этим графиком ровно одну общую точку.
Шаг 1: Определение функции и её характеристик
Функция задана в виде:
\[ y = \frac{2-x}{x^2-2x} \]
Упрощение функции: Поделим числитель и знаменатель на \( x \) (предполагая \( x \neq 0 \)), чтобы выделить асимптоты, если они есть.
Заменим \( x^2 - 2x \) на \( x(x-2) \):
\[ y = \frac{2-x}{x(x-2)} \]
Области определения: Знаменатель не должен равняться нулю, поэтому находим корни уравнения \( x^2 - 2x = 0 \):
\[ x(x-2) = 0 \implies x = 0 \text{ или } x = 2 \]
Следовательно, область определения функции: \( x \in (-\infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, +\infty) \).
Нахождение асимптот:
- Вертикальные асимптоты находятся при \( x=0 \) и \( x=2 \).
- Горизонтальная асимптота: при \( x \to \pm \infty \), \( y \to 0 \).
Шаг 2: Исследование графика функции
При \( x \) близком к нулю:
- \( y \to \infty \) (при подходе с правой стороны) и \( y \to -\infty \) (при подходе с левой стороны).
При \( x = 1 \):
- \( y = \frac{2-1}{1^2-2 \cdot 1} = \frac{1}{-1} = -1 \).
При \( x \) близком к двум:
- \( y \to +\infty \) (при подходе с левой стороны) и \( y \to -\infty \) (при подходе с правой стороны).
Шаг 3: Прямая \( y = kx \)
Теперь нужно изучить, при каких значениях \( k \) прямая \( y = kx \) будет касаться графика функции всего в одной точке. Для этого нам нужно решить уравнение:
\[ \frac{2-x}{x^2-2x} = kx \]
Умножим обе стороны на \( x^2 - 2x \) (при \( x \neq 0 \) и \( x \neq 2 \)), получится:
\[ 2 - x = kx (x^2 - 2x) \]
Перепишем как:
\[ kx^3 - (2k + 1)x + 2 = 0 \]
Это кубическое уравнение. Условие для наличия ровно одной общей точки (одного корня) — дискриминант должно быть равным нулю.
Шаг 4: Условия для кубического уравнения
Дискриминант \( D \) одного корня зависит от коэффициентов. Для кубических уравнений определяются условия касания, связанные с производной:
Найдем производную \( f(x) = kx^3 - (2k + 1)x + 2 \): \[ f'(x) = 3kx^2 - (2k + 1) \]
Для того чтобы иметь 1 корень, предполагаем \( f'(x) = 0 \) должно иметь единственный корень.
При решении \( f'(x) = 0\) получаем:
\[ 3kx^2 - (2k + 1) = 0 \]
Шаг 5: Подводя итог
- Мы ищем значения \( k \), для которых кубическое уравнение будет иметь ровно 1 корень, это может произойти, если \( 2k + 1 = 0 \): Тогда \( k = -\frac{1}{2} \).
Таким образом, прямая \( y = -\frac{1}{2}x \) будет касаться графика функции \( y = \frac{2-x}{x^2-2x} \) ровно в одной точке.
Ответ:
Число \( k = -\frac{1}{2} \).
