Построй график функции  y = \dfrac{2-x}{x^2-2x} y= x 2 −2x 2−x ​  и определи, при каком значении k k прямая y = kx y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Для того чтобы решить задачу, сначала разберем функцию и определим график функции \( y = \frac{2-x}{x^2-2x} \). Затем найдем условие, при котором прямая \( y = kx \) будет иметь с этим графиком ровно одну общую точку. ### Шаг 1: Определение функции и её характеристик Функция задана в виде: \[ y = \frac{2-x}{x^2-2x} \] 1. **Упрощение функции**: Поделим числитель и знаменатель на \( x \) (предполагая \( x \neq 0 \)), чтобы выделить асимптоты, если они есть. Заменим \( x^2 - 2x \) на \( x(x-2) \): \[ y = \frac{2-x}{x(x-2)} \] 2. **Области определения**: Знаменатель не должен равняться нулю, поэтому находим корни уравнения \( x^2 - 2x = 0 \): \[ x(x-2) = 0 \implies x = 0 \text{ или } x = 2 \] Следовательно, область определения функции: \( x \in (-\infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, +\infty) \). 3. **Нахождение асимптот**: - Вертикальные асимптоты находятся при \( x=0 \) и \( x=2 \). - Горизонтальная асимптота: при \( x \to \pm \infty \), \( y \to 0 \). ### Шаг 2: Исследование графика функции - При \( x \) близком к нулю: - \( y \to \infty \) (при подходе с правой стороны) и \( y \to -\infty \) (при подходе с левой стороны). - При \( x = 1 \): - \( y = \frac{2-1}{1^2-2 \cdot 1} = \frac{1}{-1} = -1 \). - При \( x \) близком к двум: - \( y \to +\infty \) (при подходе с левой стороны) и \( y \to -\infty \) (при подходе с правой стороны). ### Шаг 3: Прямая \( y = kx \) Теперь нужно изучить, при каких значениях \( k \) прямая \( y = kx \) будет касаться графика функции всего в одной точке. Для этого нам нужно решить уравнение: \[ \frac{2-x}{x^2-2x} = kx \] Умножим обе стороны на \( x^2 - 2x \) (при \( x \neq 0 \) и \( x \neq 2 \)), получится: \[ 2 - x = kx (x^2 - 2x) \] Перепишем как: \[ kx^3 - (2k + 1)x + 2 = 0 \] Это кубическое уравнение. Условие для наличия ровно одной общей точки (одного корня) — дискриминант должно быть равным нулю. ### Шаг 4: Условия для кубического уравнения Дискриминант \( D \) одного корня зависит от коэффициентов. Для кубических уравнений определяются условия касания, связанные с производной: 1. Найдем производную \( f(x) = kx^3 - (2k + 1)x + 2 \): \[ f'(x) = 3kx^2 - (2k + 1) \] 2. Для того чтобы иметь 1 корень, предполагаем \( f'(x) = 0 \) должно иметь единственный корень. При решении \( f'(x) = 0\) получаем: \[ 3kx^2 - (2k + 1) = 0 \] ### Шаг 5: Подводя итог - Мы ищем значения \( k \), для которых кубическое уравнение будет иметь ровно 1 корень, это может произойти, если \( 2k + 1 = 0 \): Тогда \( k = -\frac{1}{2} \). Таким образом, прямая \( y = -\frac{1}{2}x \) будет касаться графика функции \( y = \frac{2-x}{x^2-2x} \) ровно в одной точке. ### Ответ: Число \( k = -\frac{1}{2} \).