Для решения задачи начнем с записи известных данных и применения свойств треугольника и вписанной в него окружности.
Данные:
- Периметр треугольника ABC равен 20.
- Длина отрезка AK = 5.
- Длина отрезка KB = 2.
Шаг 1: Находим длину стороны AB.
Сначала мы можем найти длину стороны AB. Поскольку K - точка касания вписанной окружности с стороной AB, мы можем выразить длину стороны AB следующим образом:
[
AB = AK + KB = 5 + 2 = 7.
]
Шаг 2: Обозначим стороны треугольника.
Обозначим стороны треугольника ABC как:
- ( AB = c = 7 )
- ( AC = b )
- ( BC = a )
Шаг 3: Найдем периметр треугольника.
Периметр треугольника обозначается как сумма длин всех его сторон:
[
P = AB + AC + BC = c + b + a = 20.
]
В нашем случае:
[
7 + b + a = 20.
]
Таким образом:
[
b + a = 20 - 7 = 13.
]
Шаг 4: Используем свойства вписанной окружности.
Стороны треугольника ABC имеют разбиение на отрезки, касающиеся окружности в точках касания. Обозначим:
- ( s_a ) - длину отрезка, соприкасающегося с вершиной A,
- ( s_b ) - длину отрезка, соприкасающегося с вершиной B,
- ( s_c ) - длину отрезка, соприкасающегося с вершиной C.
Согласно свойствам вписанной окружности:
- ( s_a = AK = 5 )
- ( s_b = KB = 2 )
- ( s_c = KC ) (длина отрезка касания с C)
Теперь мы можем выразить длину стороны BC (которая будет равна ( s_a + s_c )) и длину стороны AC (которая будет равна ( s_b + s_c )):
- Для стороны BC: ( BC = 5 + KC )
- Для стороны AC: ( AC = 2 + KC )
Шаг 5: Выразим стороны через ( KC ).
Обозначим ( KC = x ). Тогда мы можем записать:
[
BC = 5 + x,
]
[
AC = 2 + x.
]
Теперь подставим это в уравнение для периметра:
[
7 + (5 + x) + (2 + x) = 20.
]
Шаг 6: Решаем уравнение.
Упростим уравнение:
[
7 + 5 + x + 2 + x = 20 \
14 + 2x = 20.
]
Теперь мы решим его:
[
2x = 20 - 14 \
2x = 6 \
x = 3.
]
Шаг 7: Находим длины сторон.
Теперь подставим значение ( x ) обратно, чтобы найти стороны AC и BC:
[
BC = 5 + x = 5 + 3 = 8,
]
[
AC = 2 + x = 2 + 3 = 5.
]
Ответ:
Таким образом, длина стороны AC равна 5.
