Вписанная в треугольник ABC окружность касается стороны AB в точке K. Найдите сторону AC, если периметр треугольника ABC равен 20, AK = 5, KB = 2

Для решения задачи начнем с записи известных данных и применения свойств треугольника и вписанной в него окружности.

Данные:

• Периметр треугольника ABC равен 20.
• Длина отрезка AK = 5.
• Длина отрезка KB = 2.

Шаг 1: Находим длину стороны AB.

Сначала мы можем найти длину стороны AB. Поскольку K - точка касания вписанной окружности с стороной AB, мы можем выразить длину стороны AB следующим образом:

\[ AB = AK + KB = 5 + 2 = 7. \]

Шаг 2: Обозначим стороны треугольника.

Обозначим стороны треугольника ABC как:

• \( AB = c = 7 \)
• \( AC = b \)
• \( BC = a \)

Шаг 3: Найдем периметр треугольника.

Периметр треугольника обозначается как сумма длин всех его сторон:

\[ P = AB + AC + BC = c + b + a = 20. \]

В нашем случае:

\[ 7 + b + a = 20. \] Таким образом:

\[ b + a = 20 - 7 = 13. \]

Шаг 4: Используем свойства вписанной окружности.

Стороны треугольника ABC имеют разбиение на отрезки, касающиеся окружности в точках касания. Обозначим:

• \( s_a \) - длину отрезка, соприкасающегося с вершиной A,
• \( s_b \) - длину отрезка, соприкасающегося с вершиной B,
• \( s_c \) - длину отрезка, соприкасающегося с вершиной C.

Согласно свойствам вписанной окружности:

• \( s_a = AK = 5 \)
• \( s_b = KB = 2 \)
• \( s_c = KC \) (длина отрезка касания с C)

Теперь мы можем выразить длину стороны BC (которая будет равна \( s_a + s_c \)) и длину стороны AC (которая будет равна \( s_b + s_c \)):

• Для стороны BC: \( BC = 5 + KC \)
• Для стороны AC: \( AC = 2 + KC \)

Шаг 5: Выразим стороны через \( KC \).

Обозначим \( KC = x \). Тогда мы можем записать:

\[ BC = 5 + x, \] \[ AC = 2 + x. \]

Теперь подставим это в уравнение для периметра:

\[ 7 + (5 + x) + (2 + x) = 20. \]

Шаг 6: Решаем уравнение.

Упростим уравнение:

\[ 7 + 5 + x + 2 + x = 20 \\ 14 + 2x = 20. \]

Теперь мы решим его:

\[ 2x = 20 - 14 \\ 2x = 6 \\ x = 3. \]

Шаг 7: Находим длины сторон.

Теперь подставим значение \( x \) обратно, чтобы найти стороны AC и BC:

\[ BC = 5 + x = 5 + 3 = 8, \] \[ AC = 2 + x = 2 + 3 = 5. \]

Ответ:

Таким образом, длина стороны AC равна 5.