Вписанная в треугольник ABC окружность касается стороны AB в точке K. Найдите периметр треугольник ABC, если AK = 5, KB = 2, AC = 8.
Для решения задачи сначала разберем, что такое вписанная окружность в треугольник и как она взаимодействует со сторонами треугольника.
Определение: Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон треугольника. Точка касания окружности с каждой стороной треугольника делит сторону на два отрезка, один из которых прилегает к вершине треугольника, а другой — к вершине, которая расположена против данной стороны.
Дано:
- Длина отрезка \( AK = 5 \)
- Длина отрезка \( KB = 2 \)
- Длина отрезка \( AC = 8 \)
Нахождение длины стороны AB: Известно, что: \[ AB = AK + KB = 5 + 2 = 7. \]
Обозначения других отрезков: Обозначим:
- длину стороны \( AC \) равной \( c = 8 \)
- длину стороны \( BC \) равной \( a \) (которую мы найдем позже).
Обозначим \( BK = s - b \) и \( AK = s - a \), где \( s \) — полупериметр треугольника \( ABC \), а \( a, b, c \) — длины сторон \( BC, AB, CA \) соответственно.
Запишем полупериметр: Полупериметр треугольника: \[ s = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{7 + 8 + a}{2}. \]
Далее, используя обозначения: \[ s - a = AK = 5 \implies s = 5 + a \] \[ s - b = KB = 2 \implies s = 2 + 7. \]
Составим уравнения и решим их: Из равенств, получим: \[ 5 + a = 2 + 7 \implies 5 + a = 9 \implies a = 9 - 5 = 4. \]
Таким образом, длина стороны \( BC = 4 \).
Нахождение полного периметра: Теперь мы можем найти периметр треугольника: \[ P = AB + AC + BC = 7 + 8 + 4 = 19. \]
Теперь подведем итоги. Периметр треугольника \( ABC \) равен \( 19 \).
Таким образом, ответ: \[ \text{Периметр треугольника } ABC = 19. \]
