Вписанная в треугольник ABC окружность касается стороны AB в точке K. Найдите периметр треугольник ABC, если AK = 5, KB = 2, AC = 8.

Для решения задачи сначала разберем, что такое вписанная окружность в треугольник и как она взаимодействует со сторонами треугольника. 1. **Определение:** Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон треугольника. Точка касания окружности с каждой стороной треугольника делит сторону на два отрезка, один из которых прилегает к вершине треугольника, а другой — к вершине, которая расположена против данной стороны. 2. **Дано:** - Длина отрезка \( AK = 5 \) - Длина отрезка \( KB = 2 \) - Длина отрезка \( AC = 8 \) 3. **Нахождение длины стороны AB:** Известно, что: \[ AB = AK + KB = 5 + 2 = 7. \] 4. **Обозначения других отрезков:** Обозначим: - длину стороны \( AC \) равной \( c = 8 \) - длину стороны \( BC \) равной \( a \) (которую мы найдем позже). Обозначим \( BK = s - b \) и \( AK = s - a \), где \( s \) — полупериметр треугольника \( ABC \), а \( a, b, c \) — длины сторон \( BC, AB, CA \) соответственно. 5. **Запишем полупериметр:** Полупериметр треугольника: \[ s = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{7 + 8 + a}{2}. \] Далее, используя обозначения: \[ s - a = AK = 5 \implies s = 5 + a \] \[ s - b = KB = 2 \implies s = 2 + 7. \] 6. **Составим уравнения и решим их:** Из равенств, получим: \[ 5 + a = 2 + 7 \implies 5 + a = 9 \implies a = 9 - 5 = 4. \] Таким образом, длина стороны \( BC = 4 \). 7. **Нахождение полного периметра:** Теперь мы можем найти периметр треугольника: \[ P = AB + AC + BC = 7 + 8 + 4 = 19. \] Теперь подведем итоги. Периметр треугольника \( ABC \) равен \( 19 \). Таким образом, ответ: \[ \text{Периметр треугольника } ABC = 19. \]