5) В амфитеатре 19 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 25 мест, а в седьмом ряду 37 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра? 4) В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 16 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре? Задача на арифметическую прогрессию

Чтобы решить представленные задачи на арифметическую прогрессию, давайте сначала вспомним основные свойства этой прогрессии: Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя последовательными членами постоянна. Обозначим первый член прогрессии как \( a_1 \), а разность прогрессии как \( d \). Формула \( n \)-го члена арифметической прогрессии выглядит следующим образом: \[ a_n = a_1 + (n - 1)d \] где \( n \) – номер члена прогрессии. Теперь разберем каждую задачу по отдельности. ### Задача 5: В амфитеатре 19 рядов, в третьем ряду 25 мест, а в седьмом ряду 37 мест. Нам нужно найти, сколько мест в последнем, 19-м ряду. 1. Обозначим: - \( a_3 = 25 \) (число мест в третьем ряду) - \( a_7 = 37 \) (число мест в седьмом ряду) 2. Используя формулу для 3-го члена: \[ a_3 = a_1 + 2d \implies 25 = a_1 + 2d \] 3. Используя формулу для 7-го члена: \[ a_7 = a_1 + 6d \implies 37 = a_1 + 6d \] 4. Теперь у нас есть система из двух уравнений: - \( a_1 + 2d = 25 \) (1) - \( a_1 + 6d = 37 \) (2) 5. Выразим \( a_1 \) из (1): \[ a_1 = 25 - 2d \] 6. Подставим это значение в (2): \[ (25 - 2d) + 6d = 37 \implies 25 + 4d = 37 \implies 4d = 12 \implies d = 3 \] 7. Теперь найдем \( a_1 \): \[ a_1 = 25 - 2 \times 3 = 19 \] 8. Теперь можем найти количество мест в 19-м ряду: \[ a_{19} = a_1 + 18d = 19 + 18 \times 3 = 19 + 54 = 73 \] **Ответ:** В последнем, 19-м ряду амфитеатра — 73 места. --- ### Задача 4: В амфитеатре 14 рядов, в первом ряду 16 мест, и в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Нам нужно посчитать общее число мест в амфитеатре. 1. Здесь нам дано: - \( a_1 = 16 \) (число мест в первом ряду) - \( d = 2 \) (разность) 2. Количество мест в \( n \)-ом ряду можем найти с помощью формулы: \[ a_n = a_1 + (n - 1)d \] 3. Общее количество мест можно найти, используя сумму арифметической прогрессии. Сумма первых \( n \) членов прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \] 4. Сначала найдем \( a_{14} \): \[ a_{14} = 16 + (14 - 1) \times 2 = 16 + 26 = 42 \] 5. Теперь можем найти сумму \( S_{14} \): \[ S_{14} = \frac{14}{2} \times (16 + 42) = 7 \times 58 = 406 \] **Ответ:** Всего в амфитеатре — 406 мест.