5) В амфитеатре 19 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 25 мест, а в седьмом ряду 37 мест. Сколько мест в…

Чтобы решить представленные задачи на арифметическую прогрессию, давайте сначала вспомним основные свойства этой прогрессии:

Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя последовательными членами постоянна. Обозначим первый член прогрессии как \( a_1 \), а разность прогрессии как \( d \).

Формула \( n \)-го члена арифметической прогрессии выглядит следующим образом:

\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]

где \( n \) – номер члена прогрессии.

Теперь разберем каждую задачу по отдельности.

Задача 5:

В амфитеатре 19 рядов, в третьем ряду 25 мест, а в седьмом ряду 37 мест. Нам нужно найти, сколько мест в последнем, 19-м ряду.

1. Обозначим:

   • \( a_3 = 25 \) (число мест в третьем ряду)
   • \( a_7 = 37 \) (число мест в седьмом ряду)

2. Используя формулу для 3-го члена: \[ a_3 = a_1 + 2d \implies 25 = a_1 + 2d \]

3. Используя формулу для 7-го члена: \[ a_7 = a_1 + 6d \implies 37 = a_1 + 6d \]

4. Теперь у нас есть система из двух уравнений:

   • \( a_1 + 2d = 25 \) (1)
   • \( a_1 + 6d = 37 \) (2)

5. Выразим \( a_1 \) из (1): \[ a_1 = 25 - 2d \]

6. Подставим это значение в (2): \[ (25 - 2d) + 6d = 37 \implies 25 + 4d = 37 \implies 4d = 12 \implies d = 3 \]

7. Теперь найдем \( a_1 \): \[ a_1 = 25 - 2 \times 3 = 19 \]

8. Теперь можем найти количество мест в 19-м ряду: \[ a_{19} = a_1 + 18d = 19 + 18 \times 3 = 19 + 54 = 73 \]

Ответ: В последнем, 19-м ряду амфитеатра — 73 места.

Задача 4:

В амфитеатре 14 рядов, в первом ряду 16 мест, и в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Нам нужно посчитать общее число мест в амфитеатре.

1. Здесь нам дано:

   • \( a_1 = 16 \) (число мест в первом ряду)
   • \( d = 2 \) (разность)

2. Количество мест в \( n \)-ом ряду можем найти с помощью формулы: \[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]

3. Общее количество мест можно найти, используя сумму арифметической прогрессии. Сумма первых \( n \) членов прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \]

4. Сначала найдем \( a_{14} \): \[ a_{14} = 16 + (14 - 1) \times 2 = 16 + 26 = 42 \]

5. Теперь можем найти сумму \( S_{14} \): \[ S_{14} = \frac{14}{2} \times (16 + 42) = 7 \times 58 = 406 \]

Ответ: Всего в амфитеатре — 406 мест.