Найдите наименьшее значение выражения: 16a^2+32ak+8a+16k^2+8k+7

Чтобы найти наименьшее значение выражения \( 16a^2 + 32ak + 8a + 16k^2 + 8k + 7 \), начнем с приведения его к более удобному виду. Мы будем рассматривать это выражение как функцию от переменной \( a \) при фиксированном \( k \).

Шаг 1: Перепишем выражение

Выражение можно сгруппировать следующим образом:

\[ 16a^2 + (32k + 8)a + (16k^2 + 8k + 7) \]

Обозначим \( b = 32k + 8 \) и \( c = 16k^2 + 8k + 7 \). Теперь у нас есть квадратичная функция:

\[ f(a) = 16a^2 + ba + c \]

Шаг 2: Найдем минимум квадратичной функции

Минимум квадратичной функции \( Ax^2 + Bx + C \) достигается в точке:

\[ x = -\frac{B}{2A} \]

В нашем случае:

• \( A = 16 \)
• \( B = b = 32k + 8 \)

Поэтому точка минимума \( a \):

\[ a_{\text{min}} = -\frac{32k + 8}{2 \cdot 16} = -\frac{32k + 8}{32} = -k - \frac{1}{4} \]

Шаг 3: Подставим это значение обратно в выражение

Теперь подставим \( a = -k - \frac{1}{4} \) в функцию \( f(a) \) для нахождения минимального значения:

\[ f(a_{\text{min}}) = 16\left(-k - \frac{1}{4}\right)^2 + (32k + 8)\left(-k - \frac{1}{4}\right) + (16k^2 + 8k + 7) \]

Шаг 4: Вычислим \( f(a_{\text{min}}) \)

Первое, вычислим \( \left(-k - \frac{1}{4}\right)^2 \):

\[ \left(-k - \frac{1}{4}\right)^2 = k^2 + \frac{1}{2}k + \frac{1}{16} \]

Теперь подставим это в исходное выражение:

\[ f\left(-k - \frac{1}{4}\right) = 16\left(k^2 + \frac{1}{2}k + \frac{1}{16}\right) + (32k + 8)\left(-k - \frac{1}{4}\right) + (16k^2 + 8k + 7) \]

В итоге это преобразуется в:

\[ 16k^2 + 8k + 1 - 32k^2 - 8k - 8 + 16k^2 + 8k + 7 \]

Постепенно упрощая, получаем:

\[ (16k^2 - 32k^2 + 16k^2) + (8k - 8k + 8k) + (1 - 8 + 7) = 0 \]

Шаг 5: Найти наименьшее значение

После всех упрощений:

\[ f(a_{\text{min}}) = 0 \]

Таким образом, наименьшее значение выражения \( 16a^2 + 32ak + 8a + 16k^2 + 8k + 7 \) равно 0.

Заключение

Мы разобрали, как находить наименьшее значение данного выражения, используя свойства квадратных функций. Правильный подход к преобразованию и подстановке переменных помог нам снизить выражение до простого значения.