Найдите наименьшее значение выражения: 16a^2+32ak+8a+16k^2+8k+7

Чтобы найти наименьшее значение выражения \( 16a^2 + 32ak + 8a + 16k^2 + 8k + 7 \), начнем с приведения его к более удобному виду. Мы будем рассматривать это выражение как функцию от переменной \( a \) при фиксированном \( k \). ### Шаг 1: Перепишем выражение Выражение можно сгруппировать следующим образом: \[ 16a^2 + (32k + 8)a + (16k^2 + 8k + 7) \] Обозначим \( b = 32k + 8 \) и \( c = 16k^2 + 8k + 7 \). Теперь у нас есть квадратичная функция: \[ f(a) = 16a^2 + ba + c \] ### Шаг 2: Найдем минимум квадратичной функции Минимум квадратичной функции \( Ax^2 + Bx + C \) достигается в точке: \[ x = -\frac{B}{2A} \] В нашем случае: - \( A = 16 \) - \( B = b = 32k + 8 \) Поэтому точка минимума \( a \): \[ a_{\text{min}} = -\frac{32k + 8}{2 \cdot 16} = -\frac{32k + 8}{32} = -k - \frac{1}{4} \] ### Шаг 3: Подставим это значение обратно в выражение Теперь подставим \( a = -k - \frac{1}{4} \) в функцию \( f(a) \) для нахождения минимального значения: \[ f(a_{\text{min}}) = 16\left(-k - \frac{1}{4}\right)^2 + (32k + 8)\left(-k - \frac{1}{4}\right) + (16k^2 + 8k + 7) \] ### Шаг 4: Вычислим \( f(a_{\text{min}}) \) Первое, вычислим \( \left(-k - \frac{1}{4}\right)^2 \): \[ \left(-k - \frac{1}{4}\right)^2 = k^2 + \frac{1}{2}k + \frac{1}{16} \] Теперь подставим это в исходное выражение: \[ f\left(-k - \frac{1}{4}\right) = 16\left(k^2 + \frac{1}{2}k + \frac{1}{16}\right) + (32k + 8)\left(-k - \frac{1}{4}\right) + (16k^2 + 8k + 7) \] В итоге это преобразуется в: \[ 16k^2 + 8k + 1 - 32k^2 - 8k - 8 + 16k^2 + 8k + 7 \] Постепенно упрощая, получаем: \[ (16k^2 - 32k^2 + 16k^2) + (8k - 8k + 8k) + (1 - 8 + 7) = 0 \] ### Шаг 5: Найти наименьшее значение После всех упрощений: \[ f(a_{\text{min}}) = 0 \] Таким образом, наименьшее значение выражения \( 16a^2 + 32ak + 8a + 16k^2 + 8k + 7 \) равно **0**. ### Заключение Мы разобрали, как находить наименьшее значение данного выражения, используя свойства квадратных функций. Правильный подход к преобразованию и подстановке переменных помог нам снизить выражение до простого значения.