точки K и P — середины сторон AB и AD параллелограмма ABCD выразите вектор KP через векторы BC=вектор a и CD=вектор b
Чтобы выразить вектор \(\vec{KP}\) через векторы \(\vec{BC} = \vec{a}\) и \(\vec{CD} = \vec{b}\), давайте сначала представим параллелограмм ABCD и определим координаты его точек.
Определим координаты точек:
- Пусть точка \(A\) имеет координаты \((0, 0)\).
- Точка \(B\) тогда будет \((a_1, a_2)\) (где \(\vec{a} = (a_1, a_2)\)).
- Соответственно, точка \(D\) будет \((b_1, b_2)\) (где \(\vec{b} = (b_1, b_2)\)).
- Поскольку ABCD — параллелограмм, то \(C\) будет находиться в \(B + \vec{b} - \vec{a}\) или \(A + \vec{a} + \vec{b}\), что дает нам координаты \(C = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)\).
Найдем середины сторон:
- Точка \(K\) — середина стороны \(AB\): \[ \vec{K} = \left( \frac{0 + a_1}{2}, \frac{0 + a_2}{2} \right) = \left( \frac{a_1}{2}, \frac{a_2}{2} \right) \]
- Точка \(P\) — середина стороны \(AD\): \[ \vec{P} = \left( \frac{0 + b_1}{2}, \frac{0 + b_2}{2} \right) = \left( \frac{b_1}{2}, \frac{b_2}{2} \right) \]
Выразим вектор \(KP\): Чтобы найти вектор от \(K\) к \(P\), используем формулу: \[ \vec{KP} = \vec{P} - \vec{K} \] Подставляя координаты, получаем: \[ \vec{KP} = \left( \frac{b_1}{2} - \frac{a_1}{2}, \frac{b_2}{2} - \frac{a_2}{2} \right) = \left( \frac{b_1 - a_1}{2}, \frac{b_2 - a_2}{2} \right) \] который можно представить как: \[ \vec{KP} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a}) \]
Таким образом, вектор \(\vec{KP}\) выражается через векторы \(\vec{BC}\) и \(\vec{CD}\) следующим образом: \[ \vec{KP} = \frac{1}{2}(-\vec{a} + \vec{b}) \]
Таким образом, результат готов: \[ \vec{KP} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a}) \] Здесь \(\vec{a}\) соответствует вектору \(BC\), а \(\vec{b}\) — вектору \(CD\).
