в первые три дня похода туристы проходили ежедневно 1/20 часть всего маршрута , следующие 4 дня они проходили ежедневно 1/16 часть маршрута , а затем сделали однодневную остановку…

Для решения этой задачи начнём с определения общей длины маршрута и последовательно рассчитает, сколько дней туристы будут проводить в походе.

1. Определим общий маршрут: обозначим весь маршрут за M.

2. Первый этап (первые 3 дня):

   • В первые три дня туристы проходили по \( \frac{1}{20} \) части маршрута каждый день.
   • За 3 дня они прошли:
     \[ 3 \times \frac{1}{20} = \frac{3}{20} M \]

3. Второй этап (следующие 4 дня):

   • Следующие четыре дня они проходили по \( \frac{1}{16} \) части маршрута каждый день.
   • За 4 дня они прошли: \[ 4 \times \frac{1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} M \]

4. Подсчитаем, сколько маршрута они прошли за первые 7 дней:

   • Сложим части маршрута, пройденные за первые 7 дней: \[ \frac{3}{20} M + \frac{1}{4} M \]
   • Для удобства расчётов найдём общий знаменатель. Общий знаменатель для \( 20 \) и \( 4 \) равен \( 20 \). Таким образом, преобразуем \( \frac{1}{4} \): \[ \frac{1}{4} M = \frac{5}{20} M \]
   • Теперь сложим: \[ \frac{3}{20} M + \frac{5}{20} M = \frac{8}{20} M = \frac{2}{5} M \]

5. После 7 дней:

   • После 7 дней туристы прошли \( \frac{2}{5} M \) маршрута.
   • Оставшаяся часть маршрута: \[ M - \frac{2}{5} M = \frac{3}{5} M \]

6. Остановка на базе:

   • Туристы сделали однодневную остановку. Это добавляет 1 день к общему времени.

7. Третий этап (дальнейший маршрут):

   • После остановки туристы начали проходить по \( \frac{1}{10} \) части маршрута каждый день.
   • Теперь нужно узнать, сколько дни потребуется им, чтобы пройти оставшуюся \( \frac{3}{5} M \) маршрута.
   • Если они проходят \( \frac{1}{10} \) части маршрута каждый день, то количество дней, необходимое для прохождения оставшегося маршрута: \[ \text{дней} = \frac{ \frac{3}{5} M }{ \frac{1}{10} M } = \frac{3}{5} \div \frac{1}{10} = \frac{3}{5} \times 10 = 6 \]

8. Общая продолжительность похода:

   • 7 дней (первый и второй этапы) + 1 день (остановка) + 6 дней (третий этап): \[ 7 + 1 + 6 = 14 \]

Таким образом, общая продолжительность похода составит 14 дней.