Чтобы найти дисперсию числового набора ( X = {3, 8, 10, 11} ), следуем следующим шагам:
1. Найдем среднее значение (математическое ожидание)
Среднее значение (\mu) рассчитывается по формуле:
[
\mu = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i
]
где ( N ) — количество элементов в наборе, а ( x_i ) — каждый элемент.
В нашем случае:
- ( N = 4 ) (числа 3, 8, 10, 11)
Теперь подставим значения:
[
\mu = \frac{3 + 8 + 10 + 11}{4} = \frac{32}{4} = 8
]
2. Найдем отклонения от среднего значения
Теперь вычислим отклонения каждого элемента от среднего значения:
[
x_1 - \mu = 3 - 8 = -5
]
[
x_2 - \mu = 8 - 8 = 0
]
[
x_3 - \mu = 10 - 8 = 2
]
[
x_4 - \mu = 11 - 8 = 3
]
3. Найдем квадрат каждого отклонения
Теперь возведем каждое отклонение в квадрат:
[
(-5)^2 = 25
]
[
0^2 = 0
]
[
2^2 = 4
]
[
3^2 = 9
]
4. Найдем среднее квадратов отклонений
Теперь нам нужно найти среднее значение этих квадратов отклонений. Для этого складываем все квадраты и делим на количество элементов:
[
\text{Дисперсия} , \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2
]
Подставим значения:
[
\sigma^2 = \frac{25 + 0 + 4 + 9}{4} = \frac{38}{4} = 9.5
]
Ответ
Дисперсия числового набора ( X = {3, 8, 10, 11} ) равна ( 9.5 ).
Таким образом, мы нашли дисперсию, следуя последовательному процессу: определили среднее значение, вычислили отклонения, возводили их в квадрат и нашли среднее значение этих квадратов. Это позволяет понять, насколько разбросаны элементы набора относительно среднего.
