Найдите дисперсию числового набора Х = {3; 8; 10; 11}.

Чтобы найти дисперсию числового набора \( X = \{3, 8, 10, 11\} \), следуем следующим шагам:

1. Найдем среднее значение (математическое ожидание)

Среднее значение \(\mu\) рассчитывается по формуле: \[ \mu = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i \] где \( N \) — количество элементов в наборе, а \( x_i \) — каждый элемент.

В нашем случае:

• \( N = 4 \) (числа 3, 8, 10, 11)

Теперь подставим значения: \[ \mu = \frac{3 + 8 + 10 + 11}{4} = \frac{32}{4} = 8 \]

2. Найдем отклонения от среднего значения

Теперь вычислим отклонения каждого элемента от среднего значения: \[ x_1 - \mu = 3 - 8 = -5 \] \[ x_2 - \mu = 8 - 8 = 0 \] \[ x_3 - \mu = 10 - 8 = 2 \] \[ x_4 - \mu = 11 - 8 = 3 \]

3. Найдем квадрат каждого отклонения

Теперь возведем каждое отклонение в квадрат: \[ (-5)^2 = 25 \] \[ 0^2 = 0 \] \[ 2^2 = 4 \] \[ 3^2 = 9 \]

4. Найдем среднее квадратов отклонений

Теперь нам нужно найти среднее значение этих квадратов отклонений. Для этого складываем все квадраты и делим на количество элементов: \[ \text{Дисперсия} \, \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2 \] Подставим значения: \[ \sigma^2 = \frac{25 + 0 + 4 + 9}{4} = \frac{38}{4} = 9.5 \]

Ответ

Дисперсия числового набора \( X = \{3, 8, 10, 11\} \) равна \( 9.5 \).

Таким образом, мы нашли дисперсию, следуя последовательному процессу: определили среднее значение, вычислили отклонения, возводили их в квадрат и нашли среднее значение этих квадратов. Это позволяет понять, насколько разбросаны элементы набора относительно среднего.