реши 8 задачу
Конечно! Давайте разберём задачу №8.
Задача: Найдите tg(α), если cos α = \( \frac{3}{5} \).
Решение:
Вспомните тригонометрическое тождество:
\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
Подставим данное значение \( \cos \alpha = \frac{3}{5} \) в тождество:
\[ \sin^2 \alpha + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 \]
\[ \sin^2 \alpha + \frac{9}{25} = 1 \]
Решите уравнение для \( \sin^2 \alpha \):
Вычтем \( \frac{9}{25} \) из обеих частей уравнения:
\[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} \]
Для удобства выразим 1 как дробь с знаменателем 25:
\[ 1 = \frac{25}{25} \]
\[ \sin^2 \alpha = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \]
Найдите \( \sin \alpha \):
Так как \( \sin^2 \alpha = \frac{16}{25} \), найдём \( \sin \alpha \):
\[ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5} \]
Точное значение знака зависит от четверти, в которой находится угол \( \alpha \). Но в задаче это не уточнено, поэтому рассчитываем для обоих случаев.
Найдите \( \tg \alpha \):
Зная, что \( \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), подставляем значения:
Если \( \sin \alpha = \frac{4}{5} \):
\[ \tg \alpha = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3} \]
Если \( \sin \alpha = -\frac{4}{5} \):
\[ \tg \alpha = \frac{-\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3} \]
Итак, возможные значения \( \tg \alpha \) — \(\frac{4}{3}\) или \(-\frac{4}{3}\). Точное значение зависит от знака \(\sin \alpha\).
Если аналитически известно, в какой четверти находится угол, можно выбрать нужный знак.
