Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен sqrt(2) . Найдите радиус окружности, опи санной около этого квадрата.

Чтобы решить задачу о радиусах вписанной и описанной окружностей квадрата, давайте разберем шаги подробно.

1. Определение радиуса вписанной окружности: Вписанная окружность квадрату касается всех его сторон. Радиус вписанной окружности равен половине длины стороны квадрата.

   Обозначим сторону квадрата как \( a \). Тогда радиус \( r_{в}\) вписанной окружности равен:
   \[ r_{в} = \frac{a}{2} \]

   В данной задаче нам дан радиус вписанной окружности: \[ r_{в} = \sqrt{2} \] Подставим это значение в формулу для вычисления стороны квадрата: \[ \sqrt{2} = \frac{a}{2} \] Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы выразить сторону квадрата: \[ a = 2\sqrt{2} \]

2. Определение радиуса описанной окружности: Описанная окружность квадрату проходит через все его вершины. Радиус описанной окружности равен половине длины диагонали квадрата.

   Длина диагонали квадрата может быть найдена с использованием теоремы Пифагора: \[ d = a \sqrt{2} \] Следовательно, радиус \( r_{о} \) описанной окружности равен: \[ r_{о} = \frac{d}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2} \]

   Теперь подставим значение стороны квадрата \( a = 2\sqrt{2} \): \[ r_{о} = \frac{(2\sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} \] Упростим это выражение: \[ r_{о} = \frac{2 \cdot 2}{2} = 2 \]

Таким образом, радиус окружности, описанной около квадрата, равен 2.