Из точки B проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите расстояние от точки B до точки касания с окружностью, если угол между касательными равен 90°, а радиус окружности равен 17.

Чтобы решить задачу, давайте разберем все шаги по порядку. ### Дано: 1. Радиус окружности \( r = 17 \). 2. Угол между касательными \( \angle ABC = 90^\circ \). ### Задача: Найти расстояние от точки \( B \) до точки касания с окружностью. ### Этапы решения: 1. **Изобразим ситуацию.** - Пусть окружность имеет центр в точке \( O \) и радиус \( r \). - Точка \( B \) находится вне окружности. - Точки касания касательных к окружности обозначим как \( T_1 \) и \( T_2 \). 2. **Находим свойства касательных.** - Касательные к окружности из одной точки (в нашем случае от точки \( B \)) равны. Таким образом, длина отрезка \( BT_1 \) равна длине отрезка \( BT_2 \). 3. **Используем свойства треугольников.** - Рассмотрим треугольник \( BOT_1 \), где: - \( BO \) — расстояние от точки \( B \) до центра окружности \( O \). - \( OT_1 \) — радиус окружности \( r = 17 \). - Поскольку \( BT_1 \) является касательной, то \( BT_1 \) перпендикулярен радиусу \( OT_1 \). 4. **Применим теорему Пифагора к треугольнику \( BOT_1 \).** В треугольнике \( BOT_1 \) мы имеем: \[ BO^2 = BT_1^2 + OT_1^2 \] Подставила значения: \[ BO^2 = BT_1^2 + 17^2 \] 5. **Установим угол между касательными.** - Поскольку угол между касательными \( T_1BT_2 = 90^\circ \), это подразумевает, что треугольник \( BT_1T_2 \) является равнобедренным и прямоугольным. 6. **Находим длину \( BT_1 \) и \( BT_2 \).** Из разобранной ранее информации о двух касательных мы знаем, что: \[ BT_1 = BT_2 = x \] Теперь используя прямоугольный треугольник \( BOT_1 \), подставим это в уравнение: \[ BO^2 = x^2 + 17^2 \] 7. **Теперь найдем расстояние \( BO \).** Чтобы определить \( BO \), мы используем свойство углов между касательными: - Из треугольника \( B T_1 O \) и \( B T_2 O \) следует, что \( d = BO \) составляет равные части. - Если угол \( ABC \) прямой, можно заметить, что \( d = BT_1 \sqrt{2} \). 8. **Итоговое уравнение:** Поскольку: \[ BO = BT_1 \sqrt{2} \] подставим это в уравнение: \[ (x \sqrt{2})^2 = x^2 + 17^2 \] Попытаемся решить это: \[ 2x^2 = x^2 + 289 \] Тогда: \[ 2x^2 - x^2 = 289 \Rightarrow x^2 = 289 \Rightarrow x = 17 \] ### Ответ: Таким образом, расстояние от точки \( B \) до точки касания с окружностью \( T_1 \) или \( T_2 \) составляет \( 17 \) единиц.