В прямоугольнике с вершинами A ( − 4 ; − 4 ) A(−4;−4) , B ( − 4 ; 6 ) B(−4;6) , C ( 8 ; 6 ) C(8;6) , D ( 8 ; − 4 ) D(8;−4) выбрали случайную точку X ( x ; y ) X(x;y) . Найди…

Давайте подробно разберём задачу и найдем вероятность того, что случайная точка \(X(x; y)\) в заданном прямоугольнике принадлежит области, определённой неравенствами \(y \geq x\) и \(y \geq 1\).

Шаг 1: Определение прямоугольника

Сначала определим координаты вершин прямоугольника:

• \(A(-4; -4)\)
• \(B(-4; 6)\)
• \(C(8; 6)\)
• \(D(8; -4)\)

Мы можем представить прямоугольник на координатной плоскости. Его стороны:

• По оси x: от -4 до 8 (длина равна \(8 - (-4) = 12\))
• По оси y: от -4 до 6 (высота равна \(6 - (-4) = 10\))

Таким образом, площадь прямоугольника \(S_{прямоугольника}\) составляет: \[ S_{прямоугольника} = 12 \times 10 = 120 \]

Шаг 2: Построение неравенств

Теперь рассмотрим область, образованную неравенствами:

1. Неравенство \(y \geq x\): Это прямая, проходящая через начало координат с углом 45°. Эта прямая делит плоскость на две половины: одна часть выше этой прямой, вторая — ниже.

2. Неравенство \(y \geq 1\): Это горизонтальная линия на уровне \(y = 1\), которая также делит плоскость. Область выше этой линии соответствует всем точкам, где \(y\) больше или равно 1.

Шаг 3: Нахождение области, которая удовлетворяет обоим неравенствам

Чтобы найти область, соответствующую обоим неравенствам, мы можем нарисовать эти линии.

• Линия \(y = x\):

  • Пересекает прямоугольник в точке где \(y = x\) и \(y \geq 1\).

• Линия \(y = 1\):

  • Пересекает прямую \(y = x\) в точке \(x = 1\) (разрешая \(y = 1\) в втором неравенстве).

Таким образом, точка пересечения линии \(y = x\) и линии \(y = 1\) происходит в \( (1; 1) \).

Шаг 4: Определение вершин области

Теперь находим пересечение линий внутри прямоугольника:

• Линия \(y = x\): начинается с точки (-4, -4), но интересует только часть, где \(y\) больше или равно 1. Эта часть проходит через (1; 1).
• Начальная точка (1; 1) и пересечь другую линию в (8; 1).

Теперь мы видим, что область, представляющая интерес (плоскость над линиями) выглядит следующим образом:

• Вершины области: (1; 1), (8; 1), (8; 6), (1; 6).

Шаг 5: Нахождение площади области

Теперь нужно вычислить площадь этой области:

1. Горизонтальная сторона: \(8 - 1 = 7\)
2. Вертикальная сторона: \(6 - 1 = 5\)

Площадь области, удовлетворяющей обоим неравенствам: \[ S_{области} = 7 \times 5 = 35 \]

Шаг 6: Нахождение вероятности

Теперь, чтобы найти вероятность того, что случайная точка \(X(x; y)\) принадлежит данной области, делим площадь области \(S_{области}\) на площадь прямоугольника \(S_{прямоугольника}\): \[ P = \frac{S_{области}}{S_{прямоугольника}} = \frac{35}{120} = \frac{7}{24} \]

Ответ

Таким образом, вероятность того, что случайная точка \(X(x; y)\) принадлежит области, заданной неравенствами \(y \geq x\) и \(y \geq 1\), равна \(\frac{7}{24}\).