В прямоугольнике с вершинами  A ( − 4 ; − 4 ) A(−4;−4),  B ( − 4 ; 6 ) B(−4;6),  C ( 8 ; 6 ) C(8;6),  D ( 8 ; − 4 ) D(8;−4) выбрали случайную точку  X ( x ; y ) X(x;y). Найди вероятность того, что координаты этой точки принадлежат области, образованной неравенствами  y ≥ x y≥x и  y ≥ 1 y≥1.

Давайте подробно разберём задачу и найдем вероятность того, что случайная точка \(X(x; y)\) в заданном прямоугольнике принадлежит области, определённой неравенствами \(y \geq x\) и \(y \geq 1\). ### Шаг 1: Определение прямоугольника Сначала определим координаты вершин прямоугольника: - \(A(-4; -4)\) - \(B(-4; 6)\) - \(C(8; 6)\) - \(D(8; -4)\) Мы можем представить прямоугольник на координатной плоскости. Его стороны: - По оси x: от -4 до 8 (длина равна \(8 - (-4) = 12\)) - По оси y: от -4 до 6 (высота равна \(6 - (-4) = 10\)) Таким образом, площадь прямоугольника \(S_{прямоугольника}\) составляет: \[ S_{прямоугольника} = 12 \times 10 = 120 \] ### Шаг 2: Построение неравенств Теперь рассмотрим область, образованную неравенствами: 1. **Неравенство \(y \geq x\):** Это прямая, проходящая через начало координат с углом 45°. Эта прямая делит плоскость на две половины: одна часть выше этой прямой, вторая — ниже. 2. **Неравенство \(y \geq 1\):** Это горизонтальная линия на уровне \(y = 1\), которая также делит плоскость. Область выше этой линии соответствует всем точкам, где \(y\) больше или равно 1. ### Шаг 3: Нахождение области, которая удовлетворяет обоим неравенствам Чтобы найти область, соответствующую обоим неравенствам, мы можем нарисовать эти линии. - Линия \(y = x\): - Пересекает прямоугольник в точке где \(y = x\) и \(y \geq 1\). - Линия \(y = 1\): - Пересекает прямую \(y = x\) в точке \(x = 1\) (разрешая \(y = 1\) в втором неравенстве). Таким образом, точка пересечения линии \(y = x\) и линии \(y = 1\) происходит в \( (1; 1) \). ### Шаг 4: Определение вершин области Теперь находим пересечение линий внутри прямоугольника: - Линия \(y = x\): начинается с точки (-4, -4), но интересует только часть, где \(y\) больше или равно 1. Эта часть проходит через (1; 1). - Начальная точка (1; 1) и пересечь другую линию в (8; 1). Теперь мы видим, что область, представляющая интерес (плоскость над линиями) выглядит следующим образом: - Вершины области: (1; 1), (8; 1), (8; 6), (1; 6). ### Шаг 5: Нахождение площади области Теперь нужно вычислить площадь этой области: 1. Горизонтальная сторона: \(8 - 1 = 7\) 2. Вертикальная сторона: \(6 - 1 = 5\) Площадь области, удовлетворяющей обоим неравенствам: \[ S_{области} = 7 \times 5 = 35 \] ### Шаг 6: Нахождение вероятности Теперь, чтобы найти вероятность того, что случайная точка \(X(x; y)\) принадлежит данной области, делим площадь области \(S_{области}\) на площадь прямоугольника \(S_{прямоугольника}\): \[ P = \frac{S_{области}}{S_{прямоугольника}} = \frac{35}{120} = \frac{7}{24} \] ### Ответ Таким образом, вероятность того, что случайная точка \(X(x; y)\) принадлежит области, заданной неравенствами \(y \geq x\) и \(y \geq 1\), равна \(\frac{7}{24}\).