Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривой (y = x^2), осью (y = 0), и вертикальными линиями (x = 2) и (x = 3), мы воспользуемся определённым интегралом.
Шаг 1: Определение границ интегрирования
Фигура ограничена вертикальными линиями (x = 2) и (x = 3), это будет наш интервал интегрирования.
Шаг 2: Определение функции
У нас есть функция:
[
y = x^2
]
Поскольку мы ищем площадь, данный интеграл будет представлять собой площадь под кривой (y) от (x = 2) до (x = 3) и выше оси (y).
Шаг 3: Формула для площади
Площадь (A) фигуры можно вычислить по следующей формуле:
[
A = \int_{a}^{b} f(x) , dx
]
Где (f(x)) — это функция (y), (a) и (b) — границы интегрирования. В нашем случае:
- (f(x) = x^2)
- (a = 2)
- (b = 3)
Шаг 4: Вычисление интеграла
Теперь вычисляем интеграл:
[
A = \int_{2}^{3} x^2 , dx
]
Для нахождения интеграла (x^2), мы используем правило интегрирования:
[
\int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
]
В нашем случае (n = 2):
[
\int x^2 , dx = \frac{x^3}{3} + C
]
Теперь подставим пределы интегрирования:
[
A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{2}^{3}
]
Шаг 5: Подстановка пределов
Теперь подставим значение пределов:
[
A = \left( \frac{3^3}{3} \right) - \left( \frac{2^3}{3} \right)
]
Рассчитаем:
[
A = \left( \frac{27}{3} \right) - \left( \frac{8}{3} \right) = 9 - \frac{8}{3}
]
Для удобства, приведем к общему знаменателю:
[
A = \frac{27}{3} - \frac{8}{3} = \frac{19}{3}
]
Ответ
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна:
[
\boxed{\frac{19}{3}}
]
