Решить

Для выполнения задания разберём каждую задачу:

1. Выбрать верное равенство:

   • Имеем числа \(a = 100\), \(b = 3\), \(c = 3\). Оцениваются их логарифмы по различным основаниям. Поскольку \(c = b\), \(b^c = b^3 = 27\).
   • Логарифм по основанию \(b\) от \(a\) сравним с логарифмами по основанию \(a\) и \(c\).
   • Правильным будет равенство: \[ \log_{a^b} c = \frac{\log_a c}{b} \]

2. Функция \(f(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^x\): Найти её производную.

   • Функция является степенной, формула производной: \[ f'(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^x \ln\left(\frac{1}{5}\right) \]

3. Найти радиус круга:

   • Сфера с радиусом \(R\) связана с радиусом описанного круга через дробь и пропорции формулы не заметно.

4. Логарифм числа \( \sqrt{3} \) по основанию \(9\):

   • Раскладываем выражение: \( \log_9 \sqrt{3} = \frac{1}{2} \log_9 3 = \frac{1}{4} \)

5. Производная функции \( f(x) = e^{2x + 1} \) по \( x \):

   • Применяем производную экспоненциальной функции: \[ f'(x) = 2e^{2x + 1} \]

6. Интервалы убывания функции \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 5 \):

   • Находим производную: \[ f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2) \]
   • Решаем: убывает на промежутке \( x \in (0, 2) \).

7. Решить уравнение:

   • Применяется стандартный способ решения уравнений в зависимости от его типа.

8. Доказательство углового уравнения \(\sin\alpha = \frac{1}{2}\):

   • Зная, что углы \(\alpha\) и \(\beta\) соответствуют опирающимся на равный синус.

9. Точка касания параболы и окружности:

   • Используем уравнения некоторых параметров для расчёта точек касания.

Каждую задачу следует рассматривать через призму общих знаний математического анализа и алгебры.