.
Давайте разберем каждую из представленных задач:
Задача 1: Площадь треугольника CDE
Дано:
- Площадь треугольника \(ABC\) равна 16.
- \(DE\) — средняя линия.
Решение:
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. В данной задаче средняя линия \(DE\) параллельна одной из сторон треугольника \(ABC\) и делит его на два равных по площади треугольника \((CDE \text{ и } ABC) \).
Площадь \(\triangle CDE\) будет равна половине площади \(\triangle ABC\), так как средняя линия делит его на равные части.
- Площадь \(\triangle CDE = \frac{1}{2} \times 16 = 8\).
Ответ: 8.
Задача 2: Площадь треугольника \(ABC\)
Дано:
- \(\angle C = 90^\circ\)
- \(CH\) — высота
- \(BC = 6\)
- \(\cos A = 0.8\)
Решение:
Треугольник \(ABC\) — прямоугольный, с прямым углом \(C\). Косинус угла \(A\) в прямоугольном треугольнике \( \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \).
Выразим гипотенузу \(AB\): \[ BC = 6 \Rightarrow AB = \frac{BC}{\cos A} = \frac{6}{0.8} = 7.5 \]
Площадь треугольника \(ABC\) равна: \[ S = \frac{1}{2} \times \text{катет} \times \text{катет} = \frac{1}{2} \times BC \times CH \]
Найдем \(CH\) из \(BC\):
- В прямоугольном треугольнике \(\sin A = \frac{CH}{AB}\).
- \(\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - 0.64} = 0.6\).
- \(CH = AB \times \sin A = 7.5 \times 0.6 = 4.5\).
Теперь подставим и найдем площадь: \[ S = \frac{1}{2} \times 6 \times 4.5 = 13.5 \]
Ответ: 13.5.
Задача 3: Диагональ осевого сечения цилиндра
Дано:
- Радиус основания цилиндра \( r = 3 \).
- Диагональ осевого сечения под углом \(60^\circ\).
Решение:
- Осевое сечение цилиндра — прямоугольник, где одна сторона равна высоте цилиндра \(h\) и другая — \(2r\).
- Диагональ \(d\) осевого сечения: \[ d = \sqrt{(2r)^2 + h^2} \]
Угол между диагональю и основанием цилиндра: \[ \tan(60^\circ) = \frac{h}{2r} \Rightarrow \frac{h}{6} = \sqrt{3} \Rightarrow h = 6\sqrt{3} \]
Теперь найдём диагональ: \[ d = \sqrt{(2 \times 3)^2 + (6\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 108} = \sqrt{144} = 12 \]
Ответ: 12.
