Для решения представленной задачи, будем разбирать каждую из двух частей отдельно.
Часть а)
Рекуррентное соотношение:
- ( x_1 = 2 )
- ( x_n = x_{n-1} + 9 ), если ( n = 2, 3, 4, \ldots )
Найдем несколько первых членов последовательности:
- ( x_1 = 2 )
- ( x_2 = x_1 + 9 = 2 + 9 = 11 )
- ( x_3 = x_2 + 9 = 11 + 9 = 20 )
- ( x_4 = x_3 + 9 = 20 + 9 = 29 )
Теперь мы можем записать первые четыре члена последовательности:
- ( x_1 = 2 )
- ( x_2 = 11 )
- ( x_3 = 20 )
- ( x_4 = 29 )
Общая форма:
Последовательность является арифметической, где первый член ( a = 2 ), и разность ( d = 9 ). Общая формула для ( n )-го члена арифметической последовательности имеет вид:
[
x_n = a + (n - 1) \cdot d
]
Подставляем известные значения:
[
x_n = 2 + (n - 1) \cdot 9
]
Упрощаем:
[
x_n = 2 + 9n - 9 = 9n - 7
]
Таким образом, формула для ( n )-го члена равна:
[
x_n = 9n - 7
]
Ответ для части а:
Формула: ( x_n = 9n - 7 )
Часть б)
Рекуррентное соотношение:
- ( x_1 = 8 )
- ( x_n = 3 x_{n-1} ), если ( n = 2, 3, 4, \ldots )
Найдем несколько первых членов последовательности:
- ( x_1 = 8 )
- ( x_2 = 3 x_1 = 3 \cdot 8 = 24 )
- ( x_3 = 3 x_2 = 3 \cdot 24 = 72 )
- ( x_4 = 3 x_3 = 3 \cdot 72 = 216 )
Теперь мы можем записать первые четыре члена последовательности:
- ( x_1 = 8 )
- ( x_2 = 24 )
- ( x_3 = 72 )
- ( x_4 = 216 )
Общая форма:
В данном случае мы имеем геометрическую прогрессию, где первый член ( a = 8 ), и знаменатель ( r = 3 ). Формула для ( n )-го члена геометрической последовательности:
[
x_n = a \cdot r^{(n-1)}
]
Подставляем известные значения:
[
x_n = 8 \cdot 3^{(n-1)}
]
Ответ для части б:
Формула: ( x_n = 8 \cdot 3^{(n-1)} )
Теперь у нас есть формулы для обеих частей задачи. Если нужно что-то уточнить или есть другие вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
