Найти площадь фигуры ограниченной линиями, y=4-x^2,x=0,y=0

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = 4 - x^2\), \(x = 0\) и \(y = 0\), давайте рассмотрим шаги по решению этой задачи. ### Шаг 1: Понимание графика функции 1. **График функции**: Функция \(y = 4 - x^2\) — это парабола, открытая вниз с вершиной в точке \((0, 4)\). 2. **Пересечения**: Мы найдем, где график пересекает ось \(x\). Для этого приравняем \(y\) к нулю: \[ 4 - x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = -2 \text{ и } x = 2 \] Но, поскольку у нас есть ограничение \(x = 0\), нас будет интересовать часть от \(x = 0\) до \(x = 2\). ### Шаг 2: Определение границ интегрирования Мы определили, что фигура ограничена: - С правой стороны: \(x = 2\) - С левой стороны: \(x = 0\) - Снизу: \(y = 0\) - Сверху: \(y = 4 - x^2\) ### Шаг 3: Формула для площади Мы можем выразить площадь области под графиком функции с помощью интеграла: \[ S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx \] Где: - \(f(x) = 4 - x^2\) (верхняя граница), - \(g(x) = 0\) (нижняя граница), - \(a = 0\) и \(b = 2\). Итак, наша формула принимает вид: \[ S = \int_{0}^{2} (4 - x^2) \, dx \] ### Шаг 4: Вычисление интеграла Теперь вычислим интеграл: \[ S = \int_{0}^{2} (4 - x^2) \, dx = \int_{0}^{2} 4 \, dx - \int_{0}^{2} x^2 \, dx \] 1. **Вычисление первого интеграла**: \[ \int_{0}^{2} 4 \, dx = 4x \Big|_{0}^{2} = 4 \cdot 2 - 4 \cdot 0 = 8 \] 2. **Вычисление второго интеграла**: \[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \Big|_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} \] Теперь подставим оба результата обратно в формулу для площади: \[ S = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24}{3} - \frac{8}{3} = \frac{16}{3} \] ### Ответ Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна \(\frac{16}{3}\) квадратных единиц.