найти площадь фигуры ограниченной линиями, y=4-x^2,x=0,y=0
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = 4 - x^2\), \(x = 0\) и \(y = 0\), давайте рассмотрим шаги по решению этой задачи.
Шаг 1: Понимание графика функции
- График функции: Функция \(y = 4 - x^2\) — это парабола, открытая вниз с вершиной в точке \((0, 4)\).
- Пересечения: Мы найдем, где график пересекает ось \(x\). Для этого приравняем \(y\) к нулю: \[ 4 - x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = -2 \text{ и } x = 2 \] Но, поскольку у нас есть ограничение \(x = 0\), нас будет интересовать часть от \(x = 0\) до \(x = 2\).
Шаг 2: Определение границ интегрирования
Мы определили, что фигура ограничена:
- С правой стороны: \(x = 2\)
- С левой стороны: \(x = 0\)
- Снизу: \(y = 0\)
- Сверху: \(y = 4 - x^2\)
Шаг 3: Формула для площади
Мы можем выразить площадь области под графиком функции с помощью интеграла: \[ S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx \] Где:
- \(f(x) = 4 - x^2\) (верхняя граница),
- \(g(x) = 0\) (нижняя граница),
- \(a = 0\) и \(b = 2\).
Итак, наша формула принимает вид: \[ S = \int_{0}^{2} (4 - x^2) \, dx \]
Шаг 4: Вычисление интеграла
Теперь вычислим интеграл: \[ S = \int_{0}^{2} (4 - x^2) \, dx = \int_{0}^{2} 4 \, dx - \int_{0}^{2} x^2 \, dx \]
Вычисление первого интеграла: \[ \int_{0}^{2} 4 \, dx = 4x \Big|_{0}^{2} = 4 \cdot 2 - 4 \cdot 0 = 8 \]
Вычисление второго интеграла: \[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \Big|_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} \]
Теперь подставим оба результата обратно в формулу для площади: \[ S = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24}{3} - \frac{8}{3} = \frac{16}{3} \]
Ответ
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна \(\frac{16}{3}\) квадратных единиц.
