Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на высоту 6,3м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в 3 раза меньше предыдущий. При каком…

Чтобы решить эту задачу, сначала определим последовательность высоты, на которую подскакивает мячик после каждого броска.

1. Начальная высота: Мячик после первого броска поднимается на высоту \( h_1 = 6,3 \, \text{м} \).

2. Следующие высоты: По условию задачи, высота каждого следующего прыжка в 3 раза меньше предыдущего. Мы можем записать высоты последующих прыжков:

   • \( h_2 = \frac{h_1}{3} = \frac{6,3}{3} = 2,1 \, \text{м} \)
   • \( h_3 = \frac{h_2}{3} = \frac{2,1}{3} = 0,7 \, \text{м} \)
   • \( h_4 = \frac{h_3}{3} = \frac{0,7}{3} \approx 0,2333 \, \text{м} \)
   • \( h_5 = \frac{h_4}{3} = \frac{0,2333}{3} \approx 0,0778 \, \text{м} \)

Теперь нам нужно определить, при каком прыжке высота станет меньше 0,25 м (что равно 25 см).

3. Общий вид высоты: Мы заметили, что высота каждого следующего прыжка определяется по формуле: \[ h_n = \frac{h_1}{3^{n-1}} = \frac{6,3}{3^{n-1}} \]

Мы хотим найти такое \( n \), при котором: \[ h_n < 0,25 \] Подставим выражение для \( h_n \): \[ \frac{6,3}{3^{n-1}} < 0,25 \]

4. Решим неравенство: Умножим обе стороны на \( 3^{n-1} \): \[ 6,3 < 0,25 \cdot 3^{n-1} \] Теперь поделим обе стороны на 0,25: \[ \frac{6,3}{0,25} < 3^{n-1} \] \[ 25,2 < 3^{n-1} \]

5. Логарифмическое неравенство: Теперь применим логарифм: \[ \log_3{25,2} < n-1 \] Следовательно: \[ n > \log_3{25,2} + 1 \]

6. Вычислим \( \log_3{25,2} \): Мы можем использовать изменение основания: \[ \log_3{25,2} = \frac{\log_{10}{25,2}}{\log_{10}{3}} \approx \frac{1,402}{0,477} \approx 2,94 \] Итак: \[ n > 2,94 + 1 \approx 3,94 \]

Таким образом, округляя, мы получаем, что первое значение \( n \), при котором высота мячика станет меньше 25 см, это 4.

Ответ: При четвертом прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 25 см.