Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на высоту 6,3м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в 3 раза меньше предыдущий. При каком по счету прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 25см
Чтобы решить эту задачу, сначала определим последовательность высоты, на которую подскакивает мячик после каждого броска.
1. **Начальная высота**: Мячик после первого броска поднимается на высоту \( h_1 = 6,3 \, \text{м} \).
2. **Следующие высоты**: По условию задачи, высота каждого следующего прыжка в 3 раза меньше предыдущего. Мы можем записать высоты последующих прыжков:
- \( h_2 = \frac{h_1}{3} = \frac{6,3}{3} = 2,1 \, \text{м} \)
- \( h_3 = \frac{h_2}{3} = \frac{2,1}{3} = 0,7 \, \text{м} \)
- \( h_4 = \frac{h_3}{3} = \frac{0,7}{3} \approx 0,2333 \, \text{м} \)
- \( h_5 = \frac{h_4}{3} = \frac{0,2333}{3} \approx 0,0778 \, \text{м} \)
Теперь нам нужно определить, при каком прыжке высота станет меньше 0,25 м (что равно 25 см).
3. **Общий вид высоты**: Мы заметили, что высота каждого следующего прыжка определяется по формуле:
\[
h_n = \frac{h_1}{3^{n-1}} = \frac{6,3}{3^{n-1}}
\]
Мы хотим найти такое \( n \), при котором:
\[
h_n < 0,25
\]
Подставим выражение для \( h_n \):
\[
\frac{6,3}{3^{n-1}} < 0,25
\]
4. **Решим неравенство**: Умножим обе стороны на \( 3^{n-1} \):
\[
6,3 < 0,25 \cdot 3^{n-1}
\]
Теперь поделим обе стороны на 0,25:
\[
\frac{6,3}{0,25} < 3^{n-1}
\]
\[
25,2 < 3^{n-1}
\]
5. **Логарифмическое неравенство**: Теперь применим логарифм:
\[
\log_3{25,2} < n-1
\]
Следовательно:
\[
n > \log_3{25,2} + 1
\]
6. **Вычислим \( \log_3{25,2} \)**: Мы можем использовать изменение основания:
\[
\log_3{25,2} = \frac{\log_{10}{25,2}}{\log_{10}{3}} \approx \frac{1,402}{0,477} \approx 2,94
\]
Итак:
\[
n > 2,94 + 1 \approx 3,94
\]
Таким образом, округляя, мы получаем, что первое значение \( n \), при котором высота мячика станет меньше 25 см, это **4**.
Ответ: **При четвертом прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 25 см.**
