Для решения задачи сначала найдем необходимые параметры арифметической прогрессии (АП).
Шаг 1: Определяем первый член и разность прогрессии
Мы знаем:
- ( x_1 = 2 ) (первый член)
- ( x_2 = 8 ) (второй член)
Разность арифметической прогрессии ( d ) вычисляется как разница между двумя последовательными членами:
[
d = x_2 - x_1 = 8 - 2 = 6
]
Шаг 2: Определяем девятый член прогрессии
Формула для n-го члена арифметической прогрессии выглядит так:
[
x_n = x_1 + (n - 1) \cdot d
]
Теперь подставим значения:
[
x_9 = x_1 + (9 - 1) \cdot d
]
Подставляем ( x_1 = 2 ) и ( d = 6 ):
[
x_9 = 2 + (8) \cdot 6
]
[
x_9 = 2 + 48
]
[
x_9 = 50
]
Шаг 3: Находим сумму первых одиннадцати членов
Сумма первых ( n ) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (x_1 + x_n)
]
Для нахождения суммы первых 11 членов, мы подставим ( n = 11 ) и использованные ранее значения:
Сначала найдем 11-й член прогрессии ( x_{11} ):
[
x_{11} = x_1 + (11 - 1) \cdot d = 2 + 10 \cdot 6 = 2 + 60 = 62
]
Теперь подставим значения в формулу для суммы:
[
S_{11} = \frac{11}{2} \cdot (x_1 + x_{11}) = \frac{11}{2} \cdot (2 + 62)
]
[
S_{11} = \frac{11}{2} \cdot 64
]
[
S_{11} = \frac{11 \cdot 64}{2} = \frac{704}{2} = 352
]
Ответы
- Девятый член прогрессии ( x_9 = 50 ).
- Сумма первых 11 членов ( S_{11} = 352 ).
Таким образом, девятый член прогрессии равен 50, а сумма первых одиннадцати членов равна 352.
