Контрольная работа по теме: «Декартовы координаты на плоскости» вариант 1. Окружность задана уравнением (х + 1)2 + (у - 2)2 = 16 a) Укажите координаты центра и радиус окружности.…

Давайте последовательно решим задачу, разбив её на пункты.

1. Окружность задана уравнением (x + 1)² + (y - 2)² = 16

а) Укажите координаты центра и радиус окружности.

Уравнение окружности имеет вид \((x - x_0)² + (y - y_0)² = r²\), где \((x_0, y_0)\) — координаты центра окружности, а \(r\) — радиус.

В данном случае:

• \((x + 1)²\) можно записать как \((x - (-1))²\). Это означает, что \(x_0 = -1\).
• \((y - 2)²\) уже имеет стандартный вид, и здесь \(y_0 = 2\).
• \(r² = 16\), следовательно, \(r = \sqrt{16} = 4\).

Ответ: Центр окружности: \((-1, 2)\); радиус: 4.

б) Принадлежат ли данной окружности точки А (-1; 6), B (3; 2), C (4; 0).

Чтобы проверить, принадлежат ли точки окружности, подставим их координаты в уравнение окружности.

1. Для точки A (-1, 6): \[ (-1 + 1)² + (6 - 2)² = 0 + 16 = 16 \quad \text{(принадлежит)} \]

2. Для точки B (3, 2): \[ (3 + 1)² + (2 - 2)² = 16 + 0 = 16 \quad \text{(принадлежит)} \]

3. Для точки C (4, 0): \[ (4 + 1)² + (0 - 2)² = 25 + 4 = 29 \quad \text{(не принадлежит)} \]

Ответ: А: принадлежит, В: принадлежит, С: не принадлежит.

б) Напишите уравнение прямой AB.

Для нахождения уравнения прямой через две точки используем формулу: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] где: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] и \((x_1, y_1) = (-1, 6)\), \((x_2, y_2) = (3, 2)\).

1. Находим \(m\): \[ m = \frac{2 - 6}{3 - (-1)} = \frac{-4}{4} = -1 \]

2. Подставляем в общее уравнение: \[ y - 6 = -1(x + 1) \] \[ y - 6 = -x - 1 \quad \Rightarrow \quad y = -x + 5 \]

Ответ: Уравнение прямой AB: \(y = -x + 5\).

2. Уравнение окружности с диаметром AB, где A (-6; 1) и B (0; 5)

Уравнение окружности

1. Находим центр: \[ C = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) = \left(\frac{-6 + 0}{2}, \frac{1 + 5}{2}\right) = \left(-3, 3\right) \]

2. Находим радиус: \[ r = \frac{AB}{2}, \quad \text{где } AB = \sqrt{(0 - (-6))^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \] Следовательно, \(r = \sqrt{13}\).

3. Уравнение окружности: \[ (x + 3)² + (y - 3)² = (2\sqrt{13})² = 52 \] То есть: \[ (x + 3)² + (y - 3)² = 52 \]

Прямая, проходящая через центр и параллельная оси абсцисс.

Уравнение такой прямой будет \(y = 3\) (так как это является уравнением линии, проходящей через \(C = (-3, 3)\)).

Ответ: Уравнение окружности: \((x + 3)² + (y - 3)² = 52\); уравнение прямой: \(y = 3\).

3. Уравнение x² + y² - 2x + 4y - 20 = 0

Чтобы выяснить, является ли данное уравнение уравнением окружности, преобразуем его к стандартному виду.

1. Стандартный вид: \((x - x_0)² + (y - y_0)² = r²\)

Приведем к стандартному виду: \[ x² - 2x + y² + 4y = 20 \]

• Для \(x² - 2x\) добавляем и вычитаем \(1\): \[ (x - 1)² - 1 \]
• Для \(y² + 4y\) добавляем и вычитаем \(4\): \[ (y + 2)² - 4 \]

Следовательно имеем: \[ (x - 1)² - 1 + (y + 2)² - 4 = 20 \]

Упрощаем: \[ (x - 1)² + (y + 2)² - 5 = 20 \] \[ (x - 1)² + (y + 2)² = 25 \]

Таким образом, у нас есть уравнение окружности с центром в \((1, -2)\) и радиусом \(5\).

Ответ: Да, это уравнение окружности.

4. Треугольник MNK с вершинами M(6; -1), N(-2; -4), K(-2; 2)

Доказать, что AMNK - равнобедренный и найти высоту из M.

Для начала найдем длины всех сторон треугольника.

1. Длина MN: \[ MN = \sqrt{(6 - (-2))² + (-1 - (-4))²} = \sqrt{(6 + 2)² + (-1 + 4)²} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} \]

2. Длина NK: \[ NK = \sqrt{(-2 - (-2))² + (-4 - 2)²} = \sqrt{0 + 36} = 6 \]

3. Длина MK: \[ MK = \sqrt{(6 - (-2))² + (-1 - 2)²} = \sqrt{(6 + 2)² + (-1 - 2)²} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} \]

Треугольник MNK равнобедренный, так как \(MN = MK = \sqrt{73}\).

Высота из M.

Для нахождения высоты проведем перпендикуляр из точки \(M(6, -1)\) к прямой \(NK\).

1. Уравнение прямой NK: Прямая проходит через \((-2, -4)\) и \((-2, 2)\) (вертикальная прямая, следовательно \(x = -2\)).

2. Находим проекцию точки \(M\) на прямую \(NK\): \(P = (-2, -1)\).

3. Найдем расстояние \(d\) от \(M\) до \(NK\): Это горизонтальное расстояние между \(x = 6\) и \(x = -2\): \[ d = 6 - (-2) = 8 \]

Ответ: Треугольник MNK - равнобедренный. Высота из M равна 8.

5. Уравнение окружности с центром в точке B(5, 0), проходящей через точку A(2, -4).

1. Находим радиус: \[ r = \sqrt{(5 - 2)² + (0 - (-4))²} = \sqrt{3² + 4²} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

2. Уравнение окружности: \[ (x - 5)² + (y - 0)² = 5² \] То есть: \[ (x - 5)² + y² = 25 \]

Ответ: Уравнение окружности: \((x - 5)² + y² = 25\).

Таким образом, мы разобрали все пункты задачи и предоставили детальные пояснения. Если есть дополнительные вопросы или нужно пояснить какой-то пункт подробнее, не стесняйтесь спрашивать!