Давайте последовательно решим задачу, разбив её на пункты.
1. Окружность задана уравнением (x + 1)² + (y - 2)² = 16
а) Укажите координаты центра и радиус окружности.
Уравнение окружности имеет вид ((x - x_0)² + (y - y_0)² = r²), где ((x_0, y_0)) — координаты центра окружности, а (r) — радиус.
В данном случае:
- ((x + 1)²) можно записать как ((x - (-1))²). Это означает, что (x_0 = -1).
- ((y - 2)²) уже имеет стандартный вид, и здесь (y_0 = 2).
- (r² = 16), следовательно, (r = \sqrt{16} = 4).
Ответ: Центр окружности: ((-1, 2)); радиус: 4.
б) Принадлежат ли данной окружности точки А (-1; 6), B (3; 2), C (4; 0).
Чтобы проверить, принадлежат ли точки окружности, подставим их координаты в уравнение окружности.
Для точки A (-1, 6):
[
(-1 + 1)² + (6 - 2)² = 0 + 16 = 16 \quad \text{(принадлежит)}
]
Для точки B (3, 2):
[
(3 + 1)² + (2 - 2)² = 16 + 0 = 16 \quad \text{(принадлежит)}
]
Для точки C (4, 0):
[
(4 + 1)² + (0 - 2)² = 25 + 4 = 29 \quad \text{(не принадлежит)}
]
Ответ: А: принадлежит, В: принадлежит, С: не принадлежит.
б) Напишите уравнение прямой AB.
Для нахождения уравнения прямой через две точки используем формулу:
[
y - y_1 = m(x - x_1)
]
где:
[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
]
и ((x_1, y_1) = (-1, 6)), ((x_2, y_2) = (3, 2)).
Находим (m):
[
m = \frac{2 - 6}{3 - (-1)} = \frac{-4}{4} = -1
]
Подставляем в общее уравнение:
[
y - 6 = -1(x + 1)
]
[
y - 6 = -x - 1 \quad \Rightarrow \quad y = -x + 5
]
Ответ: Уравнение прямой AB: (y = -x + 5).
2. Уравнение окружности с диаметром AB, где A (-6; 1) и B (0; 5)
Уравнение окружности
Находим центр:
[
C = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) = \left(\frac{-6 + 0}{2}, \frac{1 + 5}{2}\right) = \left(-3, 3\right)
]
Находим радиус:
[
r = \frac{AB}{2}, \quad \text{где } AB = \sqrt{(0 - (-6))^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}
]
Следовательно, (r = \sqrt{13}).
Уравнение окружности:
[
(x + 3)² + (y - 3)² = (2\sqrt{13})² = 52
]
То есть:
[
(x + 3)² + (y - 3)² = 52
]
Прямая, проходящая через центр и параллельная оси абсцисс.
Уравнение такой прямой будет (y = 3) (так как это является уравнением линии, проходящей через (C = (-3, 3))).
Ответ: Уравнение окружности: ((x + 3)² + (y - 3)² = 52); уравнение прямой: (y = 3).
3. Уравнение x² + y² - 2x + 4y - 20 = 0
Чтобы выяснить, является ли данное уравнение уравнением окружности, преобразуем его к стандартному виду.
- Стандартный вид:
((x - x_0)² + (y - y_0)² = r²)
Приведем к стандартному виду:
[
x² - 2x + y² + 4y = 20
]
- Для (x² - 2x) добавляем и вычитаем (1):
[
(x - 1)² - 1
]
- Для (y² + 4y) добавляем и вычитаем (4):
[
(y + 2)² - 4
]
Следовательно имеем:
[
(x - 1)² - 1 + (y + 2)² - 4 = 20
]
Упрощаем:
[
(x - 1)² + (y + 2)² - 5 = 20
]
[
(x - 1)² + (y + 2)² = 25
]
Таким образом, у нас есть уравнение окружности с центром в ((1, -2)) и радиусом (5).
Ответ: Да, это уравнение окружности.
4. Треугольник MNK с вершинами M(6; -1), N(-2; -4), K(-2; 2)
Доказать, что AMNK - равнобедренный и найти высоту из M.
Для начала найдем длины всех сторон треугольника.
Длина MN:
[
MN = \sqrt{(6 - (-2))² + (-1 - (-4))²} = \sqrt{(6 + 2)² + (-1 + 4)²} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}
]
Длина NK:
[
NK = \sqrt{(-2 - (-2))² + (-4 - 2)²} = \sqrt{0 + 36} = 6
]
Длина MK:
[
MK = \sqrt{(6 - (-2))² + (-1 - 2)²} = \sqrt{(6 + 2)² + (-1 - 2)²} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}
]
Треугольник MNK равнобедренный, так как (MN = MK = \sqrt{73}).
Высота из M.
Для нахождения высоты проведем перпендикуляр из точки (M(6, -1)) к прямой (NK).
Уравнение прямой NK:
Прямая проходит через ((-2, -4)) и ((-2, 2)) (вертикальная прямая, следовательно (x = -2)).
Находим проекцию точки (M) на прямую (NK):
(P = (-2, -1)).
Найдем расстояние (d) от (M) до (NK):
Это горизонтальное расстояние между (x = 6) и (x = -2):
[
d = 6 - (-2) = 8
]
Ответ: Треугольник MNK - равнобедренный. Высота из M равна 8.
5. Уравнение окружности с центром в точке B(5, 0), проходящей через точку A(2, -4).
Находим радиус:
[
r = \sqrt{(5 - 2)² + (0 - (-4))²} = \sqrt{3² + 4²} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
]
Уравнение окружности:
[
(x - 5)² + (y - 0)² = 5²
]
То есть:
[
(x - 5)² + y² = 25
]
Ответ: Уравнение окружности: ((x - 5)² + y² = 25).
Таким образом, мы разобрали все пункты задачи и предоставили детальные пояснения. Если есть дополнительные вопросы или нужно пояснить какой-то пункт подробнее, не стесняйтесь спрашивать!
