Контрольная работа по теме: «Декартовы координаты на плоскости» вариант 1 1. Окружность задана уравнением (х + 1)2 + (у - 2)2 = 16 a) Укажите координаты центра и радиус…

Задача по теме "Декартовы координаты на плоскости"

Вариант 1

1. Окружность задана уравнением (x + 1)² + (y - 2)² = 16

a) Укажите координаты центра и радиус окружности.

Уравнение окружности имеет вид:
\[(x - x_0)² + (y - y_0)² = r²,\]
где \((x_0, y_0)\) — координаты центра, а \(r\) — радиус окружности.

В данном уравнении:
\((x + 1)² + (y - 2)² = 16\)

Мы можем переписать его в стандартной форме:
\[(x - (-1))² + (y - 2)² = 4².\]

Отсюда видно, что:

• Центр: \((-1, 2)\)
• Радиус: \(r = 4\)

б) Принадлежат ли данной окружности точки A (-1; 6), B (3; 2), C (4; 0)?

Чтобы проверить, принадлежат ли данные точки окружности, подставим их координаты в уравнение окружности.

• Для точки A (-1; 6): \[ (-1 + 1)² + (6 - 2)² = 0² + 4² = 16 \quad \text{(принадлежит)} \]

• Для точки B (3; 2): \[ (3 + 1)² + (2 - 2)² = 4² + 0² = 16 \quad \text{(принадлежит)} \]

• Для точки C (4; 0): \[ (4 + 1)² + (0 - 2)² = 5² + (-2)² = 25 + 4 = 29 \quad \text{(не принадлежит)} \]

Итак, точки A и B принадлежат окружности, в то время как точка C — нет.

c) Напишите уравнение прямой AB.

Для уравнения прямой, соединяющей точки A (-1; 6) и B (3; 2), найдем сначала угловой коэффициент (m):

\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 6}{3 - (-1)} = \frac{-4}{4} = -1. \]

Используем точку A для получения уравнения прямой в точечном угловом виде \(y - y_1 = m(x - x_1)\):

\[ y - 6 = -1(x + 1) \quad \Rightarrow \quad y - 6 = -x - 1 \quad \Rightarrow \quad y = -x + 5. \]

2. Дано: A (-6; 1), B (0; 5) - концы диаметра окружности.

Составьте уравнение этой окружности и прямой, проходящей через ее центр и параллельно оси абсцисс.

Сначала найдем центр окружности, который является серединой отрезка AB:

\[ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) = M\left(\frac{-6 + 0}{2}, \frac{1 + 5}{2}\right) = M\left(-3, 3\right). \]

Теперь находясь в центре, найдем радиус (половина длины отрезка AB):

\[ r = \sqrt{\left(0 - (-6)\right)² + (5 - 1)²} = \sqrt{6² + 4²} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}. \]

Уравнение окружности:

\[ (x + 3)² + (y - 3)² = (2\sqrt{13})² = 52. \]

Прямая, проходящая через центр и параллельная оси абсцисс, имеет вид:

\[ y = 3. \]

3. Выяснить, является ли уравнение x² + y² - 2x + 4y - 20 = 0 уравнением окружности.

Для нахождения центра и радиуса уравнение следует привести к стандартному виду. Займемся полным квадратом:

Перепишем уравнение:

\[ x² - 2x + y² + 4y - 20 = 0. \]

Для \(x\):

\[ x² - 2x = (x - 1)² - 1. \]

Для \(y\):

\[ y² + 4y = (y + 2)² - 4. \]

Итак, подставим это обратно:

\[ (x - 1)² - 1 + (y + 2)² - 4 - 20 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x - 1)² + (y + 2)² = 25. \]

Таким образом, это уравнение окружности с центром (1, -2) и радиусом 5.

4. Треугольник MNK задан координатами своих вершин: M(6; -1), N(-2; -4), K(-2; 2). Доказать, что AMNK - равнобедренный и найти его высоту, проведенную из вершины M.

Проверим длины сторон MN, MK и NK:

• Длина MN: \[ MN = \sqrt{(-2 - 6)² + (-4 + 1)²} = \sqrt{(-8)² + (-3)²} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}. \]

• Длина MK: \[ MK = \sqrt{(-2 - 6)² + (2 + 1)²} = \sqrt{(-8)² + (3)²} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}. \]

• Длина NK: \[ NK = \sqrt{(-2 - (-2))² + (-4 - 2)²} = \sqrt{0 + (-6)²} = 6. \]

Таким образом, MN = MK, следовательно, треугольник равнобедренный.

Теперь найдем высоту, проведенную из M. Высота делит основание NK пополам:

\[ H = \frac{1}{2}(-2 + 2) = -2. \]

Теперь высота MH перпендикулярна NK, поэтому:

\[ h = |y_M - y_K| = |-1 - 2| = 3. \]

5. Написать уравнение окружности с центром в точке B(5; 0), проходящей через точку A(2; -4).

Сначала найдем радиус:

\[ r = \sqrt{(2 - 5)² + (-4 - 0)²} = \sqrt{(-3)² + (-4)²} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5. \]

Теперь, используя уравнение окружности:

\[ (x - 5)² + (y - 0)² = 5². \]

Уравнение окружности:

\[ (x - 5)² + y² = 25. \]

Теперь все задачи решены! Если нужны дополнительные пояснения или помощь, дайте знать!