Задача по теме "Декартовы координаты на плоскости"
Вариант 1
1. Окружность задана уравнением (x + 1)² + (y - 2)² = 16
a) Укажите координаты центра и радиус окружности.
Уравнение окружности имеет вид:
[(x - x_0)² + (y - y_0)² = r²,]
где ((x_0, y_0)) — координаты центра, а (r) — радиус окружности.
В данном уравнении:
((x + 1)² + (y - 2)² = 16)
Мы можем переписать его в стандартной форме:
[(x - (-1))² + (y - 2)² = 4².]
Отсюда видно, что:
- Центр: ((-1, 2))
- Радиус: (r = 4)
б) Принадлежат ли данной окружности точки A (-1; 6), B (3; 2), C (4; 0)?
Чтобы проверить, принадлежат ли данные точки окружности, подставим их координаты в уравнение окружности.
Для точки A (-1; 6):
[
(-1 + 1)² + (6 - 2)² = 0² + 4² = 16 \quad \text{(принадлежит)}
]
Для точки B (3; 2):
[
(3 + 1)² + (2 - 2)² = 4² + 0² = 16 \quad \text{(принадлежит)}
]
Для точки C (4; 0):
[
(4 + 1)² + (0 - 2)² = 5² + (-2)² = 25 + 4 = 29 \quad \text{(не принадлежит)}
]
Итак, точки A и B принадлежат окружности, в то время как точка C — нет.
c) Напишите уравнение прямой AB.
Для уравнения прямой, соединяющей точки A (-1; 6) и B (3; 2), найдем сначала угловой коэффициент (m):
[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 6}{3 - (-1)} = \frac{-4}{4} = -1.
]
Используем точку A для получения уравнения прямой в точечном угловом виде (y - y_1 = m(x - x_1)):
[
y - 6 = -1(x + 1) \quad \Rightarrow \quad y - 6 = -x - 1 \quad \Rightarrow \quad y = -x + 5.
]
2. Дано: A (-6; 1), B (0; 5) - концы диаметра окружности.
Составьте уравнение этой окружности и прямой, проходящей через ее центр и параллельно оси абсцисс.
Сначала найдем центр окружности, который является серединой отрезка AB:
[
M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) = M\left(\frac{-6 + 0}{2}, \frac{1 + 5}{2}\right) = M\left(-3, 3\right).
]
Теперь находясь в центре, найдем радиус (половина длины отрезка AB):
[
r = \sqrt{\left(0 - (-6)\right)² + (5 - 1)²} = \sqrt{6² + 4²} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}.
]
Уравнение окружности:
[
(x + 3)² + (y - 3)² = (2\sqrt{13})² = 52.
]
Прямая, проходящая через центр и параллельная оси абсцисс, имеет вид:
[
y = 3.
]
3. Выяснить, является ли уравнение x² + y² - 2x + 4y - 20 = 0 уравнением окружности.
Для нахождения центра и радиуса уравнение следует привести к стандартному виду. Займемся полным квадратом:
Перепишем уравнение:
[
x² - 2x + y² + 4y - 20 = 0.
]
Для (x):
[
x² - 2x = (x - 1)² - 1.
]
Для (y):
[
y² + 4y = (y + 2)² - 4.
]
Итак, подставим это обратно:
[
(x - 1)² - 1 + (y + 2)² - 4 - 20 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x - 1)² + (y + 2)² = 25.
]
Таким образом, это уравнение окружности с центром (1, -2) и радиусом 5.
4. Треугольник MNK задан координатами своих вершин: M(6; -1), N(-2; -4), K(-2; 2). Доказать, что AMNK - равнобедренный и найти его высоту, проведенную из вершины M.
Проверим длины сторон MN, MK и NK:
Длина MN:
[
MN = \sqrt{(-2 - 6)² + (-4 + 1)²} = \sqrt{(-8)² + (-3)²} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}.
]
Длина MK:
[
MK = \sqrt{(-2 - 6)² + (2 + 1)²} = \sqrt{(-8)² + (3)²} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}.
]
Длина NK:
[
NK = \sqrt{(-2 - (-2))² + (-4 - 2)²} = \sqrt{0 + (-6)²} = 6.
]
Таким образом, MN = MK, следовательно, треугольник равнобедренный.
Теперь найдем высоту, проведенную из M. Высота делит основание NK пополам:
[
H = \frac{1}{2}(-2 + 2) = -2.
]
Теперь высота MH перпендикулярна NK, поэтому:
[
h = |y_M - y_K| = |-1 - 2| = 3.
]
5. Написать уравнение окружности с центром в точке B(5; 0), проходящей через точку A(2; -4).
Сначала найдем радиус:
[
r = \sqrt{(2 - 5)² + (-4 - 0)²} = \sqrt{(-3)² + (-4)²} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.
]
Теперь, используя уравнение окружности:
[
(x - 5)² + (y - 0)² = 5².
]
Уравнение окружности:
[
(x - 5)² + y² = 25.
]
Теперь все задачи решены! Если нужны дополнительные пояснения или помощь, дайте знать!
