Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в…

Давайте разберем предложенные задачи по шагам.

Задача 1:

Условие: Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Скорость течения реки равна 4 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.

Обозначения:

• Обозначим скорость лодки в неподвижной воде как \( v \) км/ч.
• Скорость лодки против течения будет \( v - 4 \) км/ч (так как течения замедляет лодку).
• Скорость лодки по течению будет \( v + 4 \) км/ч.

Время в пути:

1. Время движения против течения:
   \[ t_1 = \frac{77}{v - 4} \]
2. Время движения по течению:
   \[ t_2 = \frac{77}{v + 4} \]

Условие задачи: Во время обратного пути лодка потратила на 2 часа меньше: \[ t_1 = t_2 + 2 \]

Составляем уравнение: \[ \frac{77}{v - 4} = \frac{77}{v + 4} + 2 \]

Решаем уравнение:

1. Умножаем все части на \( (v - 4)(v + 4) \): \[ 77(v + 4) = 77(v - 4) + 2(v - 4)(v + 4) \]

2. Раскрываем скобки: \[ 77v + 308 = 77v - 308 + 2(v^2 - 16) \]

3. Приводим подобные: \[ 308 = -308 + 2v^2 - 32 \] \[ 2v^2 - 32 + 308 + 308 = 0 \] \[ 2v^2 + 284 = 0 \]

4. Упрощаем: \[ 2v^2 = -284 \implies v^2 = 142 \implies v \approx \sqrt{142} \approx 11.67 \text{ км/ч} \]

Таким образом, скорость лодки в неподвижной воде составляет приблизительно 11.67 км/ч.

Задача 2:

Условие: Первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ из 60 деталей на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Обозначения:

• Обозначим скорость второго рабочего как \( x \) деталей в час.
• Тогда скорость первого рабочего будет \( x + 10 \) деталей в час.

Время на выполнение заказа:

1. Время второго рабочего:
   \[ t_2 = \frac{60}{x} \]
2. Время первого рабочего:
   \[ t_1 = \frac{60}{x + 10} \]

Условие задачи: Первый рабочий выполняет заказ на 3 часа быстрее: \[ t_2 = t_1 + 3 \]

Составляем уравнение: \[ \frac{60}{x} = \frac{60}{x + 10} + 3 \]

Решаем уравнение:

1. Умножаем все части на \( x(x + 10) \): \[ 60(x + 10) = 60x + 3x(x + 10) \]

2. Раскрываем скобки: \[ 60x + 600 = 60x + 3x^2 + 30x \] \[ 600 = 3x^2 + 30x \]

3. Переносим все в одну сторону: \[ 3x^2 + 30x - 600 = 0 \] \[ x^2 + 10x - 200 = 0 \]

4. Находим корни: \[ x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 + 4 \cdot 200}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 800}}{2} = \frac{-10 \pm 30}{2} \] Корни: \[ x_1 = 10, x_2 = -20 \]

Таким образом, второй рабочий делает 10 деталей в час.

Задача 3:

Условие: Два велосипедиста одновременно отправляются в 105-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 16 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 4 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Обозначения:

• Обозначим скорость второго велосипедиста как \( x \) км/ч.
• Тогда скорость первого велосипедиста будет \( x + 16 \) км/ч.

Время на выполнение пробега:

1. Время второго велосипедиста:
   \[ t_2 = \frac{105}{x} \]
2. Время первого велосипедиста:
   \[ t_1 = \frac{105}{x + 16} \]

Условие задачи: Первый велосипедист прибывает на 4 часа раньше второго: \[ t_2 = t_1 + 4 \]

Составляем уравнение: \[ \frac{105}{x} = \frac{105}{x + 16} + 4 \]

Решаем уравнение:

1. Умножаем все части на \( x(x + 16) \): \[ 105(x + 16) = 105x + 4x(x + 16) \]

2. Раскрываем скобки: \[ 105x + 1680 = 105x + 4x^2 + 64x \]

3. Приводим подобные: \[ 1680 = 4x^2 + 64x \]

4. Переносим всё в одну сторону: \[ 4x^2 + 64x - 1680 = 0 \] \[ x^2 + 16x - 420 = 0 \]

5. Находим корни: \[ x = \frac{-16 \pm \sqrt{(16)^2 + 4 \cdot 420}}{2} = \frac{-16 \pm \sqrt{256 + 1680}}{2} = \frac{-16 \pm \sqrt{1936}}{2} \] Корни: \[ x_1 = 14, \quad x_2 = -30 \]

Таким образом, скорость второго велосипедиста составляет 14 км/ч.