Давайте разберем предложенные задачи по шагам.
Задача 1:
Условие: Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Скорость течения реки равна 4 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.
Обозначения:
- Обозначим скорость лодки в неподвижной воде как ( v ) км/ч.
- Скорость лодки против течения будет ( v - 4 ) км/ч (так как течения замедляет лодку).
- Скорость лодки по течению будет ( v + 4 ) км/ч.
Время в пути:
- Время движения против течения:
[
t_1 = \frac{77}{v - 4}
]
- Время движения по течению:
[
t_2 = \frac{77}{v + 4}
]
Условие задачи:
Во время обратного пути лодка потратила на 2 часа меньше:
[
t_1 = t_2 + 2
]
Составляем уравнение:
[
\frac{77}{v - 4} = \frac{77}{v + 4} + 2
]
Решаем уравнение:
Умножаем все части на ( (v - 4)(v + 4) ):
[
77(v + 4) = 77(v - 4) + 2(v - 4)(v + 4)
]
Раскрываем скобки:
[
77v + 308 = 77v - 308 + 2(v^2 - 16)
]
Приводим подобные:
[
308 = -308 + 2v^2 - 32
]
[
2v^2 - 32 + 308 + 308 = 0
]
[
2v^2 + 284 = 0
]
Упрощаем:
[
2v^2 = -284 \implies v^2 = 142 \implies v \approx \sqrt{142} \approx 11.67 \text{ км/ч}
]
Таким образом, скорость лодки в неподвижной воде составляет приблизительно 11.67 км/ч.
Задача 2:
Условие: Первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ из 60 деталей на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
Обозначения:
- Обозначим скорость второго рабочего как ( x ) деталей в час.
- Тогда скорость первого рабочего будет ( x + 10 ) деталей в час.
Время на выполнение заказа:
- Время второго рабочего:
[
t_2 = \frac{60}{x}
]
- Время первого рабочего:
[
t_1 = \frac{60}{x + 10}
]
Условие задачи:
Первый рабочий выполняет заказ на 3 часа быстрее:
[
t_2 = t_1 + 3
]
Составляем уравнение:
[
\frac{60}{x} = \frac{60}{x + 10} + 3
]
Решаем уравнение:
Умножаем все части на ( x(x + 10) ):
[
60(x + 10) = 60x + 3x(x + 10)
]
Раскрываем скобки:
[
60x + 600 = 60x + 3x^2 + 30x
]
[
600 = 3x^2 + 30x
]
Переносим все в одну сторону:
[
3x^2 + 30x - 600 = 0
]
[
x^2 + 10x - 200 = 0
]
Находим корни:
[
x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 + 4 \cdot 200}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 800}}{2} = \frac{-10 \pm 30}{2}
]
Корни:
[
x_1 = 10, x_2 = -20
]
Таким образом, второй рабочий делает 10 деталей в час.
Задача 3:
Условие: Два велосипедиста одновременно отправляются в 105-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 16 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 4 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.
Обозначения:
- Обозначим скорость второго велосипедиста как ( x ) км/ч.
- Тогда скорость первого велосипедиста будет ( x + 16 ) км/ч.
Время на выполнение пробега:
- Время второго велосипедиста:
[
t_2 = \frac{105}{x}
]
- Время первого велосипедиста:
[
t_1 = \frac{105}{x + 16}
]
Условие задачи:
Первый велосипедист прибывает на 4 часа раньше второго:
[
t_2 = t_1 + 4
]
Составляем уравнение:
[
\frac{105}{x} = \frac{105}{x + 16} + 4
]
Решаем уравнение:
Умножаем все части на ( x(x + 16) ):
[
105(x + 16) = 105x + 4x(x + 16)
]
Раскрываем скобки:
[
105x + 1680 = 105x + 4x^2 + 64x
]
Приводим подобные:
[
1680 = 4x^2 + 64x
]
Переносим всё в одну сторону:
[
4x^2 + 64x - 1680 = 0
]
[
x^2 + 16x - 420 = 0
]
Находим корни:
[
x = \frac{-16 \pm \sqrt{(16)^2 + 4 \cdot 420}}{2} = \frac{-16 \pm \sqrt{256 + 1680}}{2} = \frac{-16 \pm \sqrt{1936}}{2}
]
Корни:
[
x_1 = 14, \quad x_2 = -30
]
Таким образом, скорость второго велосипедиста составляет 14 км/ч.
